题目
4.(20 points) Let X(k),0leq kleq 7 be a 8-point DFT of a length-8 real sequence x(n) with the first four samples of X(k), given by X(k)=-1,2,-5+j,-4j,1+3j,0leq kleq 4(1) Determine the remaining samples of X(k);(2) Evaluate the following functions of x(n) without computing the IDFT of X(k):(a)x(0), (b)x(4), (c)sum_(k=0)^7X(n), (d)sum_(k=0)^7e^j(2pi)/(8)X(n)
4.(20 points) Let $X(k),0\leq k\leq 7$ be a 8-point DFT of a length-8 real sequence $x(n)$ with the first four samples of $X(k)$, given by $X(k)=\{-1,2,-5+j,-4j,1+3j\},0\leq k\leq 4$
(1) Determine the remaining samples of $X(k)$;
(2) Evaluate the following functions of $x(n)$ without computing the IDFT of $X(k)$:
(a)$x(0)$, (b)$x(4)$, (c)$\sum_{k=0}^{7}X(n)$, (d)$\sum_{k=0}^{7}e^{j\frac{2\pi}{8}}X(n)$
题目解答
答案
### 问题解析
#### (1) 确定剩余的 $X(k)$ 样本
给定一个长度为8的实序列 $x(n)$ 的8点离散傅里叶变换 (DFT) $X(k)$，已知前四个样本为：
\[ X(k) = \{-1, 2, -5 + j, -4j\}, \quad 0 \leq k \leq 3 \]
由于 $x(n)$ 是实序列，其DFT具有共轭对称性，即：
\[ X(k) = X^*(N - k) \]
其中 $N = 8$，$X^*(k)$ 表示 $X(k)$ 的复共轭。
因此，我们可以确定剩余的 $X(k)$ 样本：
\[ X(4) = 1 + 3j \]
\[ X(5) = X^*(3) = (-4j)^* = 4j \]
\[ X(6) = X^*(2) = (-5 + j)^* = -5 - j \]
\[ X(7) = X^*(1) = 2^* = 2 \]
所以，完整的 $X(k)$ 为：
\[ X(k) = \{-1, 2, -5 + j, -4j, 1 + 3j, 4j, -5 - j, 2\} \]
#### (2) 评估以下函数而不计算 $X(k)$ 的逆DFT
##### (a) $x(0)$
$x(0)$ 是 $x(n)$ 的直流分量，可以通过 $X(k)$ 的平均值来计算：
\[ x(0) = \frac{1}{8} \sum_{k=0}^{7} X(k) \]
计算 $\sum_{k=0}^{7} X(k)$：
\[ \sum_{k=0}^{7} X(k) = -1 + 2 + (-5 + j) + (-4j) + (1 + 3j) + 4j + (-5 - j) + 2 \]
\[ = (-1 + 2 + 1 + 2) + (-5 - 5) + (j - 4j + 3j + 4j - j) \]
\[ = 4 - 10 + 0j \]
\[ = -6 \]
因此：
\[ x(0) = \frac{1}{8} \sum_{k=0}^{7} X(k) = \frac{1}{8} \times (-6) = -\frac{3}{4} \]
##### (b) $x(4)$
$x(4)$ 可以通过 $X(k)$ 的对称性来计算。对于实序列，$x(4)$ 可以表示为：
\[ x(4) = \frac{1}{8} \sum_{k=0}^{7} X(k) e^{-j \frac{2\pi}{8} 4k} \]
由于 $e^{-j \frac{2\pi}{8} 4k} = (-1)^k$，我们有：
\[ x(4) = \frac{1}{8} \sum_{k=0}^{7} X(k) (-1)^k \]
计算 $\sum_{k=0}^{7} X(k) (-1)^k$：
\[ \sum_{k=0}^{7} X(k) (-1)^k = -1 - 2 + (-5 + j) + 4j + (1 + 3j) - 4j + (-5 - j) - 2 \]
\[ = (-1 - 2 + 1 - 2) + (-5 - 5) + (j + 4j + 3j - 4j - j) \]
\[ = -4 - 10 + 0j \]
\[ = -14 \]
因此：
\[ x(4) = \frac{1}{8} \sum_{k=0}^{7} X(k) (-1)^k = \frac{1}{8} \times (-14) = -\frac{7}{4} \]
##### (c) $\sum_{n=0}^{7} x(n)$
根据DFT的性质，$\sum_{n=0}^{7} x(n)$ 等于 $X(0)$：
\[ \sum_{n=0}^{7} x(n) = X(0) = -1 \]
##### (d) $\sum_{n=0}^{7} e^{j \frac{2\pi}{8} n} x(n)$
根据DFT的定义，$\sum_{n=0}^{7} e^{j \frac{2\pi}{8} n} x(n)$ 等于 $X(1)$：
\[ \sum_{n=0}^{7} e^{j \frac{2\pi}{8} n} x(n) = X(1) = 2 \]
### 最终答案
1. 剩余的 $X(k)$ 样本为：
\[ X(k) = \{-1, 2, -5 + j, -4j, 1 + 3j, 4j, -5 - j, 2\} \]
2. 评估的函数值为：
(a) $x(0) = -\frac{3}{4}$
(b) $x(4) = -\frac{7}{4}$
(c) $\sum_{n=0}^{7} x(n) = -1$
(d) $\sum_{n=0}^{7} e^{j \frac{2\pi}{8} n} x(n) = 2$