求曲线 ) (x)^2+(y)^2+(z)^2-3x=0 2x-3y+5z-4=0 . 在点(1,1,1)处的切线和法平面方程.-|||-,

考查要点：本题要求求解空间曲线在指定点处的切线和法平面方程，核心思路是利用两个曲面交线的切线方向向量，即两曲面在该点的梯度向量的叉积。

关键步骤：

1. 确定曲面方程：题目给出两个曲面 $F(x,y,z)=0$ 和 $G(x,y,z)=0$，它们的交线即为所求曲线。
2. 计算梯度向量：分别求出 $F$ 和 $G$ 的梯度 $\nabla F$ 和 $\nabla G$，并在点 $(1,1,1)$ 处代入。
3. 求叉积得切向量：切线方向向量为 $\nabla F \times \nabla G$。
4. 写方程：利用方向向量和点坐标，写出切线方程和法平面方程。

1. 计算梯度向量

• 曲面 $F = x^2 + y^2 + z^2 - 3x$ 的梯度：
  $\nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right) = (2x-3, 2y, 2z)$
  在点 $(1,1,1)$ 处：
  $\nabla F(1,1,1) = (-1, 2, 2)$

• 曲面 $G = 2x - 3y + 5z - 4$ 的梯度：
  $\nabla G = \left( \frac{\partial G}{\partial x}, \frac{\partial G}{\partial y}, \frac{\partial G}{\partial z} \right) = (2, -3, 5)$

2. 计算梯度叉积

切线方向向量为 $\nabla F \times \nabla G$：
$\begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\-1 & 2 & 2 \\2 & -3 & 5\end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 5 - 2 \cdot (-3)) - \mathbf{j}(-1 \cdot 5 - 2 \cdot 2) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-3) - 2 \cdot 2) = 16\mathbf{i} + 9\mathbf{j} - \mathbf{k}$
即方向向量为 $(16, 9, -1)$。

3. 写切线和法平面方程

• 切线方程（对称式）：
  $\frac{x-1}{16} = \frac{y-1}{9} = \frac{z-1}{-1}$
• 法平面方程（点法式）：
  $16(x-1) + 9(y-1) - (z-1) = 0 \implies 16x + 9y - z - 24 = 0$