题目
[题目]计算二重积分 iint ((x+y))^3dxdy, 其中D由曲-|||-线 =sqrt (1+{y)^2} 与直线 +sqrt (2)y=0 及 -sqrt (2)y=0 围成.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域D
区域D由曲线 $x=\sqrt{1+y^2}$ 与直线 $x+\sqrt{2}y=0$ 及 $x-\sqrt{2}y=0$ 围成。首先，我们确定这些曲线的交点。曲线 $x=\sqrt{1+y^2}$ 与直线 $x+\sqrt{2}y=0$ 的交点为 $(\sqrt{2}, -1)$，与直线 $x-\sqrt{2}y=0$ 的交点为 $(\sqrt{2}, 1)$。因此，区域D在y轴上的范围是 $-1 \leq y \leq 1$，在x轴上的范围是 $\sqrt{2}|y| \leq x \leq \sqrt{1+y^2}$。
步骤 2：将二重积分分解
二重积分 $\iint_D (x+y)^3 dxdy$ 可以分解为 $\iint_D (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) dxdy$。由于区域D关于x轴对称，且 $x^2y$ 和 $y^3$ 关于y为奇函数，$x^3$ 和 $xy^2$ 关于y为偶函数，因此 $\iint_D x^2y dxdy = 0$ 和 $\iint_D y^3 dxdy = 0$。所以，原积分可以简化为 $\iint_D x^3 dxdy + 3\iint_D xy^2 dxdy$。
步骤 3：计算积分
首先计算 $\iint_D x^3 dxdy$。由于区域D关于x轴对称，我们只需计算 $0 \leq y \leq 1$ 的部分，然后乘以2。因此，$\iint_D x^3 dxdy = 2\int_{0}^{1} dy \int_{\sqrt{2}y}^{\sqrt{1+y^2}} x^3 dx$。计算内层积分，得到 $\int_{\sqrt{2}y}^{\sqrt{1+y^2}} x^3 dx = \frac{1}{4}[(1+y^2)^2 - (2y^2)^2] = \frac{1}{4}(1+2y^2-y^4)$。因此，$\iint_D x^3 dxdy = 2\int_{0}^{1} \frac{1}{4}(1+2y^2-y^4) dy = \frac{1}{2}[\frac{1}{2}y^2 + \frac{2}{3}y^3 - \frac{1}{5}y^5]_{0}^{1} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{8}{15}$。
接下来计算 $3\iint_D xy^2 dxdy$。同样地，我们只需计算 $0 \leq y \leq 1$ 的部分，然后乘以2。因此，$3\iint_D xy^2 dxdy = 6\int_{0}^{1} dy \int_{\sqrt{2}y}^{\sqrt{1+y^2}} xy^2 dx$。计算内层积分，得到 $\int_{\sqrt{2}y}^{\sqrt{1+y^2}} xy^2 dx = \frac{1}{2}y^2[(1+y^2) - (2y^2)] = \frac{1}{2}y^2(1-y^2)$。因此，$3\iint_D xy^2 dxdy = 6\int_{0}^{1} \frac{1}{2}y^2(1-y^2) dy = 3[\frac{1}{3}y^3 - \frac{1}{5}y^5]_{0}^{1} = 3(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{6}{15}$。
步骤 4：求和
将两个积分的结果相加，得到 $\iint_D (x+y)^3 dxdy = \frac{8}{15} + \frac{6}{15} = \frac{14}{15}$。
区域D由曲线 $x=\sqrt{1+y^2}$ 与直线 $x+\sqrt{2}y=0$ 及 $x-\sqrt{2}y=0$ 围成。首先，我们确定这些曲线的交点。曲线 $x=\sqrt{1+y^2}$ 与直线 $x+\sqrt{2}y=0$ 的交点为 $(\sqrt{2}, -1)$，与直线 $x-\sqrt{2}y=0$ 的交点为 $(\sqrt{2}, 1)$。因此，区域D在y轴上的范围是 $-1 \leq y \leq 1$，在x轴上的范围是 $\sqrt{2}|y| \leq x \leq \sqrt{1+y^2}$。
步骤 2：将二重积分分解
二重积分 $\iint_D (x+y)^3 dxdy$ 可以分解为 $\iint_D (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) dxdy$。由于区域D关于x轴对称，且 $x^2y$ 和 $y^3$ 关于y为奇函数，$x^3$ 和 $xy^2$ 关于y为偶函数，因此 $\iint_D x^2y dxdy = 0$ 和 $\iint_D y^3 dxdy = 0$。所以，原积分可以简化为 $\iint_D x^3 dxdy + 3\iint_D xy^2 dxdy$。
步骤 3：计算积分
首先计算 $\iint_D x^3 dxdy$。由于区域D关于x轴对称，我们只需计算 $0 \leq y \leq 1$ 的部分，然后乘以2。因此，$\iint_D x^3 dxdy = 2\int_{0}^{1} dy \int_{\sqrt{2}y}^{\sqrt{1+y^2}} x^3 dx$。计算内层积分，得到 $\int_{\sqrt{2}y}^{\sqrt{1+y^2}} x^3 dx = \frac{1}{4}[(1+y^2)^2 - (2y^2)^2] = \frac{1}{4}(1+2y^2-y^4)$。因此，$\iint_D x^3 dxdy = 2\int_{0}^{1} \frac{1}{4}(1+2y^2-y^4) dy = \frac{1}{2}[\frac{1}{2}y^2 + \frac{2}{3}y^3 - \frac{1}{5}y^5]_{0}^{1} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{8}{15}$。
接下来计算 $3\iint_D xy^2 dxdy$。同样地，我们只需计算 $0 \leq y \leq 1$ 的部分，然后乘以2。因此，$3\iint_D xy^2 dxdy = 6\int_{0}^{1} dy \int_{\sqrt{2}y}^{\sqrt{1+y^2}} xy^2 dx$。计算内层积分，得到 $\int_{\sqrt{2}y}^{\sqrt{1+y^2}} xy^2 dx = \frac{1}{2}y^2[(1+y^2) - (2y^2)] = \frac{1}{2}y^2(1-y^2)$。因此，$3\iint_D xy^2 dxdy = 6\int_{0}^{1} \frac{1}{2}y^2(1-y^2) dy = 3[\frac{1}{3}y^3 - \frac{1}{5}y^5]_{0}^{1} = 3(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{6}{15}$。
步骤 4：求和
将两个积分的结果相加，得到 $\iint_D (x+y)^3 dxdy = \frac{8}{15} + \frac{6}{15} = \frac{14}{15}$。