[题目]计算二重积分 iint ((x+y))^3dxdy, 其中D由曲-|||-线 =sqrt (1+{y)^2} 与直线 +sqrt (2)y=0 及 -sqrt (2)y=0 围成.

考查要点：本题主要考查二重积分的对称性应用及分项积分法。
解题思路：

1. 展开被积函数：将$(x+y)^3$展开为$x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$，拆分为四个积分。
2. 利用对称性简化：区域$D$关于$x$轴对称，奇函数项（如$x^2y$、$y^3$）的积分为零，仅需计算偶函数项（如$x^3$、$xy^2$）。
3. 转换积分区域：将对称区域的积分转化为上半区域的两倍积分，简化计算。

展开被积函数

将$(x+y)^3$展开：
$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$
原积分拆分为：
$\iint_D (x+y)^3 \,dx\,dy = \iint_D x^3 \,dx\,dy + 3\iint_D x^2y \,dx\,dy + 3\iint_D xy^2 \,dx\,dy + \iint_D y^3 \,dx\,dy$

利用对称性简化

• 奇函数项：$x^2y$和$y^3$关于$y$为奇函数，在对称区域$D$上的积分为零，即：
  $\iint_D x^2y \,dx\,dy = 0, \quad \iint_D y^3 \,dx\,dy = 0$
• 偶函数项：$x^3$和$xy^2$关于$y$为偶函数，积分可转化为两倍上半区域$D_1$的积分：
  $\iint_D x^3 \,dx\,dy = 2\iint_{D_1} x^3 \,dx\,dy, \quad \iint_D xy^2 \,dx\,dy = 2\iint_{D_1} xy^2 \,dx\,dy$

计算剩余积分

积分$I_1 = \iint_D x^3 \,dx\,dy$

$I_1 = 2\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{2}y}^{\sqrt{1+y^2}} x^3 \,dx\,dy = 2\int_{0}^{1} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{\sqrt{2}y}^{\sqrt{1+y^2}} dy$
计算得：
$I_1 = \frac{8}{15}$

积分$I_3 = 3\iint_D xy^2 \,dx\,dy$

$I_3 = 6\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{2}y}^{\sqrt{1+y^2}} xy^2 \,dx\,dy = 6\int_{0}^{1} y^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{\sqrt{2}y}^{\sqrt{1+y^2}} dy$
计算得：
$I_3 = \frac{6}{15}$

合并结果

$\iint_D (x+y)^3 \,dx\,dy = I_1 + I_3 = \frac{8}{15} + \frac{6}{15} = \frac{14}{15}$