题目

18.计算二重积分 iintlimits_(D)ydxdy，其中D是由曲线y=x^2,y=8x^2与xy=1所围成的闭区域.

18.计算二重积分$ \iint\limits_{D}ydxdy$，其中D是由曲线$y=x^{2},y=8x^{2}$与xy=1所围成的闭区域.

题目解答

答案

将区域 $D$ 由曲线 $y = x^2$，$y = 8x^2$，和 $xy = 1$ 围成。

  1. 确定交点：

    • $y = x^2$ 与 $y = 8x^2$ 交于 $(0,0)$；
    • $y = x^2$ 与 $xy = 1$ 交于 $(1,1)$；
    • $y = 8x^2$ 与 $xy = 1$ 交于 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$。

  2. 分区域积分：

    • 区域1：$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$，$y$ 从 $x^2$ 到 $8x^2$；
    • 区域2：$\frac{1}{2} \leq x \leq 1$，$y$ 从 $x^2$ 到 $\frac{1}{x}$。

  3. 计算积分：
    $\iint_{D} y \, dx \, dy = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \int_{x^2}^{8x^2} y \, dy \, dx + \int_{\frac{1}{2}}^{1} \int_{x^2}^{\frac{1}{x}} y \, dy \, dx$
    经计算，两部分积分分别为 $\frac{63}{320}$ 和 $\frac{129}{320}$，相加得 $\frac{192}{320} = \frac{3}{5}$。

答案：$\boxed{\frac{3}{5}}$