对于微分方程y''+3y'+2y=e^-x，利用待定系数法求其特解y^*时，应设其特解y^*=（）A. Axe^-xB. Ae^-xC. Ax^2e^-x

考查要点：本题主要考查利用待定系数法求解非齐次线性微分方程特解的形式，重点在于判断非齐次项与齐次方程特征根的关系，从而确定特解的构造方式。

解题核心思路：

1. 求齐次方程的特征根，确定其形式；
2. 分析非齐次项的形式，判断其对应的指数是否为齐次方程的特征根；
3. 根据重复情况调整特解形式：若非齐次项的指数与特征根重复，则特解需乘以适当的幂次（单根乘$x$，重根乘$x^2$等）。

破题关键点：

• 特征方程的解：通过解特征方程确定齐次解的结构；
• 非齐次项与特征根的关系：明确非齐次项的指数是否为特征根及其重数；
• 特解形式的修正：根据重复情况调整特解中的多项式因子。

步骤1：求齐次方程的特征根

齐次方程为 $y'' + 3y' + 2y = 0$，对应的特征方程为：
$r^2 + 3r + 2 = 0$
解得特征根：
$r_1 = -1, \quad r_2 = -2$

步骤2：分析非齐次项的形式

非齐次项为 $e^{-x}$，对应指数 $\alpha = -1$。观察发现，$\alpha = -1$ 是齐次方程的单根（仅出现一次）。

步骤3：确定特解形式

根据待定系数法：

• 若非齐次项 $e^{\alpha x}$ 的 $\alpha$ 是齐次方程的单根，则特解形式应为 $y^* = A x e^{\alpha x}$；
• 本题中 $\alpha = -1$ 是单根，因此特解应设为：
  $y^* = A x e^{-x}$

选项分析：

• 选项A：$A x e^{-x}$，符合上述推导；
• 选项B：$A e^{-x}$，未考虑与特征根重复的情况，错误；
• 选项C：$A x^2 e^{-x}$，适用于$\alpha$是二重根的情况，错误。