25 设连续型随机变量X的分布函数-|||-F(x)= 0, x≤0 ax^2+bx, 0

考查要点：本题主要考查连续型随机变量分布函数的性质，包括连续性、概率计算以及方程联立求解的能力。

解题核心思路：

1. 利用分布函数在分段点处的连续性，确定参数关系；
2. 根据概率等式 $P(X < \frac{1}{3}) = P(X > \frac{1}{3})$，结合分布函数定义，建立方程；
3. 联立方程求解参数 $a$ 和 $b$。

破题关键点：

• 分布函数在 $x=1$ 处连续，即 $a + b = 1$；
• 概率等式转化为方程：$F\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2}$。

步骤1：利用分布函数的连续性

在 $x=1$ 处，分布函数必须连续，因此：
$F(1^-) = F(1) \implies a \cdot 1^2 + b \cdot 1 = 1 \implies a + b = 1.$

步骤2：根据概率等式建立方程

由 $P(X < \frac{1}{3}) = P(X > \frac{1}{3})$，得：
$F\left(\frac{1}{3}\right) = 1 - F\left(\frac{1}{3}\right) \implies F\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2}.$
代入 $F(x)$ 的表达式：
$a \left(\frac{1}{3}\right)^2 + b \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2} \implies \frac{a}{9} + \frac{b}{3} = \frac{1}{2}.$

步骤3：联立方程求解

联立方程：
$\begin{cases}a + b = 1, \\\frac{a}{9} + \frac{b}{3} = \frac{1}{2}.\end{cases}$
将 $b = 1 - a$ 代入第二个方程：
$\frac{a}{9} + \frac{1 - a}{3} = \frac{1}{2} \implies a + 3(1 - a) = \frac{9}{2} \implies -2a = \frac{3}{2} \implies a = -\frac{3}{4}.$
回代得：
$b = 1 - \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{7}{4}.$