题目
设C是抛物线y^2=x上从(1,-1)到(1,1)的一段弧,则int_(C)xydx=()。A. -(4)/(5)B. (4)/(5)C. (2)/(5)D. 0
设$C$是抛物线$y^2=x$上从$(1,-1)$到$(1,1)$的一段弧,则$\int_{C}xydx=$()。
A. $-\frac{4}{5}$
B. $\frac{4}{5}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $0$
题目解答
答案
B. $\frac{4}{5}$
解析
步骤 1：参数化曲线
将抛物线方程 $y^2 = x$ 转换为 $x = y^2$，则 $dx = 2y \, dy$。
步骤 2：代入积分
代入积分得： \[ \int_C xy \, dx = \int_{-1}^1 y^2 \cdot y \cdot 2y \, dy = \int_{-1}^1 2y^4 \, dy. \]
步骤 3：计算积分
利用偶函数性质，积分变为： \[ 2 \int_0^1 2y^4 \, dy = 4 \int_0^1 y^4 \, dy = 4 \left[ \frac{y^5}{5} \right]_0^1 = \frac{4}{5}. \]
将抛物线方程 $y^2 = x$ 转换为 $x = y^2$，则 $dx = 2y \, dy$。
步骤 2：代入积分
代入积分得： \[ \int_C xy \, dx = \int_{-1}^1 y^2 \cdot y \cdot 2y \, dy = \int_{-1}^1 2y^4 \, dy. \]
步骤 3：计算积分
利用偶函数性质，积分变为： \[ 2 \int_0^1 2y^4 \, dy = 4 \int_0^1 y^4 \, dy = 4 \left[ \frac{y^5}{5} \right]_0^1 = \frac{4}{5}. \]