题目

λ取何值时，方程组2x1+λx2−x3＝1λx1−x2+x3＝24x1+5x2−5x3＝−1无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解．

λ取何值时，方程组2x1+λx2−x3＝1λx1−x2+x3＝24x1+5x2−5x3＝−1无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解．

题目解答

答案


∵方程组系数矩阵的行列式：
|A|＝

.
2λ−1
λ−11
45−5
.
=5λ2-λ-4=（λ-1）（5λ+4），
∴
①当λ≠1且λ≠−
4
5
时，由于|A|≠0，方程组有唯一解，
②当λ＝−
4
5
时，对原方程组的增广矩阵做初等行变换化成行阶梯形矩阵：
.
A
＝
2−
4
5
−11
−
4
5
−112
45−5−1
5r1，−5r2
10−4−55
45−5−10
45−5−1
r3−r2
10−4−55
45−5−10
0009
，
从而：r(A)＝2＜3＝r(
.
A
)，
∴方程组无解，
③当λ=1时，
.
A
＝
21−11
1−112
45−5−1
r1r2
1−112
21−11
45−5−1
r2−2r1，r3−4r1
1−112
03−3−3
09−9−9
r3−3r1，
1
3
r2，r1+r2
1001
01−1−1
0000
，
取x3为自由变量，则：
x1＝1
x2＝−1+x3

令x3=c，c为任意常数，得方程组的通解为：
x1
x2
x3
＝
1
−1+c
c
．

解析

步骤 1：计算系数矩阵的行列式
首先，计算方程组系数矩阵的行列式，以确定方程组的解的情况。
步骤 2：分析行列式的结果
根据行列式的结果，分析方程组的解的情况，包括无解、唯一解和无穷多解。
步骤 3：求解方程组
当方程组有无穷多解时，求解方程组的通解。