题目
一款击鼓小游戏的规则如下:-|||-每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓后要么出现一次音乐,要-|||-么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现三次音乐获得-|||-150分,出现两次音乐获得100分,出现一次音乐获得50-|||-分,没有出现音乐则获得 -300 分.设每次击鼓出现音乐的-|||-概率为 (0lt plt dfrac (2)(5)), 且各次击鼓出现音乐相互独立.-|||-(1)若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为f(p),求f (p)-|||-的最大值点p0;-|||-(2)以(1)中确定的p 0作为p的值,玩3盘游戏,出现音乐-|||-的盘数为随机变量X,求每盘游戏出现音乐的概率p1及随-|||-机变量X的期望E (X).
题目解答
答案
解析
步骤 1：求一盘游戏中仅出现一次音乐的概率f(p)
一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为 $f(p)={C}_{3}^{1}p{(1-p)}^{2}=3{p}^{3}-6{p}^{2}+3p$ ,其中 ${C}_{3}^{1}$ 表示从三次击鼓中选择一次出现音乐的组合数，$p$ 表示每次击鼓出现音乐的概率，$(1-p)$ 表示每次击鼓不出现音乐的概率。
步骤 2：求f(p)的最大值点p0
对 $f(p)$ 求导，得到 $f'(p)=3(3p-1)(p-1)$ 。由 $f'(p)=0$ 得 $p=\dfrac {1}{3}$ 或 $p=1$ (舍)。当 $p\in (0,\dfrac {1}{3})$ 时，$f'(p)\gt 0$ ；当 $p\in (\dfrac {1}{3},\dfrac {2}{5})$ 时，$f'(p)\lt 0$ 。因此，$f(p)$ 在 $(0,\dfrac {1}{3})$ 上单调递增，在 $(\dfrac {1}{3},\dfrac {2}{5})$ 上单调递减。所以，当 $p=\dfrac {1}{3}$ 时，$f(p)$ 有最大值，即 $f(p)$ 的最大值点 ${p}_{0}=\dfrac {1}{3}$ 。
步骤 3：求每盘游戏出现音乐的概率p1及随机变量X的期望E(X)
由(1)可知，$p={p}_{0}=\dfrac {1}{3}$ 。则每盘游戏出现音乐的概率 ${p}_{1}=1-{(1-\dfrac {1}{3})}^{3}=\dfrac {19}{27}$ 。由题可知 $X\sim B(3,\dfrac {19}{27})$ ，$\therefore E(X)=3\times \dfrac {19}{27}=\dfrac {19}{9}$ 。
一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为 $f(p)={C}_{3}^{1}p{(1-p)}^{2}=3{p}^{3}-6{p}^{2}+3p$ ,其中 ${C}_{3}^{1}$ 表示从三次击鼓中选择一次出现音乐的组合数，$p$ 表示每次击鼓出现音乐的概率，$(1-p)$ 表示每次击鼓不出现音乐的概率。
步骤 2：求f(p)的最大值点p0
对 $f(p)$ 求导，得到 $f'(p)=3(3p-1)(p-1)$ 。由 $f'(p)=0$ 得 $p=\dfrac {1}{3}$ 或 $p=1$ (舍)。当 $p\in (0,\dfrac {1}{3})$ 时，$f'(p)\gt 0$ ；当 $p\in (\dfrac {1}{3},\dfrac {2}{5})$ 时，$f'(p)\lt 0$ 。因此，$f(p)$ 在 $(0,\dfrac {1}{3})$ 上单调递增，在 $(\dfrac {1}{3},\dfrac {2}{5})$ 上单调递减。所以，当 $p=\dfrac {1}{3}$ 时，$f(p)$ 有最大值，即 $f(p)$ 的最大值点 ${p}_{0}=\dfrac {1}{3}$ 。
步骤 3：求每盘游戏出现音乐的概率p1及随机变量X的期望E(X)
由(1)可知，$p={p}_{0}=\dfrac {1}{3}$ 。则每盘游戏出现音乐的概率 ${p}_{1}=1-{(1-\dfrac {1}{3})}^{3}=\dfrac {19}{27}$ 。由题可知 $X\sim B(3,\dfrac {19}{27})$ ，$\therefore E(X)=3\times \dfrac {19}{27}=\dfrac {19}{9}$ 。