题目

求函数f（x，y）=x 2+2y 2-x 2y 2在区域D={（x，y）|x 2+y 2≤4，y≥0}上的最大值和最小值．

求函数f（x，y）=x 2+2y 2-x 2y 2在区域D={（x，y）|x 2+y 2≤4，y≥0}上的最大值和最小值．

题目解答

答案

（I）首先我们讨论开区域内的极值
∵f（x，y）=x2+2y2-x2y2
∴f′x(x，y)＝2x−2xy2，f′y(x，y)＝4y−2x2y
令f′x（x，y）=f′y（x，y）=0
解得：
x＝±
2
，y＝1（舍掉y=-1的情形）
即开区域内可疑的极值点是：(±
2
，1)
其对应函数值为f(±
2
，1)＝2
（II）下面我们来讨论区域边界上的极值情况，区域D的边界为：y=0以及x2+y2=4（-2≤x≤2，y≥0）
①y=0时，f（x，y）=x2在-2≤x≤2上的最大值是4，最小值为0
②x2+y2=4（-2≤x≤2，y≥0）时，根据拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数
F（x，y，λ）=x2+2y2-x2y2+λ（x2+y2-4）
其中λ为参数
则
F′x＝2x−2xy2+2λx
F′y＝4y−2x2y+2λy
令F′x=F′y=0，且条件x2+y2=4
解得可能极值点：
(0，2)，(±
5
2
，
3
2
)，
且f(0，2)＝8，f(±
5
2
，
问题解析
此题考查求二元函数的最值，由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可，最后比较这两者的极值，最大的就是最大值，最小的就是最小值．
名师点评
本题考点：
有界闭区域上连续函数的性质最值定理．
考点点评：
由于题目仅仅是要求出最大和最小值，故只需求出可疑的极值点，而不必判断极值点是极大值还是极小值；闭区域边界上的极值，是有条件极值，需要对拉格朗日乘数法熟悉

解析

步骤 1：讨论开区域内的极值
函数f（x，y）=x^{2}+2y^{2}-x^{2}y^{2}，我们首先求出其偏导数。
f′x(x，y)＝2x−2xy^{2}，f′y(x，y)＝4y−2x^{2}y
令f′_x（x，y）=f′_y（x，y）=0，解得：
x＝±
2
，y＝1（舍掉y=-1的情形）
即开区域内可疑的极值点是：(±
2
，1)
其对应函数值为f(±
2
，1)＝2
步骤 2：讨论区域边界上的极值情况
区域D的边界为：y=0以及x^{2}+y^{2}=4（-2≤x≤2，y≥0）
①y=0时，f（x，y）=x^{2}在-2≤x≤2上的最大值是4，最小值为0
②x^{2}+y^{2}=4（-2≤x≤2，y≥0）时，根据拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数
F（x，y，λ）=x^{2}+2y^{2}-x^{2}y^{2}+λ（x^{2}+y^{2}-4）
其中λ为参数
则
F′x＝2x−2xy^{2}+2λx
F′y＝4y−2x^{2}y+2λy
令F′_x=F′_y=0，且条件x^{2}+y^{2}=4
解得可能极值点：
(0，2)，(±
5
2
，
3
2
)，
且f(0，2)＝8，f(±
5
2
，
3
2
)＝
11
4
步骤 3：比较极值点的函数值
比较开区域内的极值点和边界上的极值点的函数值，得到最大值和最小值。