题目
从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（ ）A. 24对B. 30对C. 48对D. 60对
从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（ ）
A. 24对
B. 30对
C. 48对
D. 60对
题目解答
答案
C. 48对
解析
步骤 1：计算所有可能的对角线对数
正方体有12条面对角线，从这12条面对角线中任取两条作为一对，共有${C}_{12}^{2}$种组合方式。计算${C}_{12}^{2}$的值，得到所有可能的对角线对数。
步骤 2：排除不满足条件的对角线对
同一面上的对角线不满足题意，因为它们是平行的，所以它们之间的夹角为0°。对面的面对角线也不满足题意，因为它们是异面直线，所以它们之间的夹角为90°。正方体有3组平行平面，每组平行平面上有6对不满足题意的直线对数，因此共有3×6=18对不满足题意的直线对数。
步骤 3：计算满足条件的对角线对数
从所有可能的对角线对数中减去不满足题意的对角线对数，得到满足条件的对角线对数。
正方体有12条面对角线，从这12条面对角线中任取两条作为一对，共有${C}_{12}^{2}$种组合方式。计算${C}_{12}^{2}$的值，得到所有可能的对角线对数。
步骤 2：排除不满足条件的对角线对
同一面上的对角线不满足题意，因为它们是平行的，所以它们之间的夹角为0°。对面的面对角线也不满足题意，因为它们是异面直线，所以它们之间的夹角为90°。正方体有3组平行平面，每组平行平面上有6对不满足题意的直线对数，因此共有3×6=18对不满足题意的直线对数。
步骤 3：计算满足条件的对角线对数
从所有可能的对角线对数中减去不满足题意的对角线对数，得到满足条件的对角线对数。