题目
(1). 设在坐标系[O; i,j, k]中点A和点M的坐标依次为(x_0,y_0,z_0)和(x,y,z), 则在[A; i,j, k]坐标系中点M的坐标为_____, 向量overrightarrow(OM)的坐标为_____。(2). 设数lambda _1,lambda _2,lambda _3不全为0, 使lambda _1a+lambda _2b+lambda _3c=0, 则a,b,c三个向量是_____的。(3). 设a=(2,1,2),b=(4,-1,10),c=b-lambda a且abot c, 则lambda =_____。(4). 设vert avert=3,vert bvert=4,vert cvert=5 , 且满足a+b+c=0, 则vert atimes b+btimes c+ctimes avert=_____。
(1). 设在坐标系$[O; i,j, k]$中点A和点M的坐标依次为$(x_0,y_0,z_0)$和$(x,y,z)$, 则在$[A; i,j, k]$坐标系中点M的坐标为_____, 向量$\overrightarrow{OM}$的坐标为_____。
(2). 设数$\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3$不全为0, 使$\lambda _1a+\lambda _2b+\lambda _3c=0$, 则$a,b,c$三个向量是_____的。
(3). 设$a=(2,1,2),b=(4,-1,10),c=b-\lambda a且a\bot c$, 则$\lambda =$_____。
(4). 设$\vert a\vert=3,\vert b\vert=4,\vert c\vert=5$ , 且满足$a+b+c=0$, 则$\vert a\times b+b\times c+c\times a\vert$=_____。
题目解答
答案
(1). $(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$; $(x,y,z)$.
(2). 共面。
(3). 3。
(4). 36。
解析
步骤 1：坐标变换
在坐标系$[O; i,j, k]$中，点A的坐标为$(x_0,y_0,z_0)$，点M的坐标为$(x,y,z)$。在$[A; i,j, k]$坐标系中，点M的坐标为$(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$，因为点M相对于点A的位移就是$(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$。向量$\overrightarrow{OM}$的坐标在$[O; i,j, k]$坐标系中为$(x,y,z)$，在$[A; i,j, k]$坐标系中不变，因为向量的坐标与原点的选择无关。
步骤 2：向量共面
如果存在不全为0的数$\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3$，使得$\lambda _1a+\lambda _2b+\lambda _3c=0$，则向量$a,b,c$是共面的。这是因为，如果三个向量共面，它们可以表示为一个平面内的向量，即存在线性关系，使得它们的线性组合为零向量。
步骤 3：向量垂直
已知$a=(2,1,2),b=(4,-1,10)$，且$c=b-\lambda a$，$a\bot c$。根据向量垂直的条件，$a\cdot c=0$。将$c$的表达式代入，得到$(2,1,2)\cdot(4-\lambda\cdot2,-1-\lambda\cdot1,10-\lambda\cdot2)=0$，解得$\lambda=3$。
步骤 4：向量叉乘
已知$\vert a\vert=3,\vert b\vert=4,\vert c\vert=5$，且$a+b+c=0$。根据向量叉乘的性质，$a\times b+b\times c+c\times a$的模长等于$2\vert a\times b\vert$，因为$a+b+c=0$，所以$c=-a-b$，代入叉乘公式，得到$\vert a\times b+b\times c+c\times a\vert=2\vert a\times b\vert=2\vert a\vert\vert b\vert\sin\theta$，其中$\theta$是$a$和$b$的夹角。因为$a+b+c=0$，所以$a,b,c$构成一个闭合的三角形，根据余弦定理，可以求出$\sin\theta$，进而求出$\vert a\times b+b\times c+c\times a\vert$的值。
在坐标系$[O; i,j, k]$中，点A的坐标为$(x_0,y_0,z_0)$，点M的坐标为$(x,y,z)$。在$[A; i,j, k]$坐标系中，点M的坐标为$(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$，因为点M相对于点A的位移就是$(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$。向量$\overrightarrow{OM}$的坐标在$[O; i,j, k]$坐标系中为$(x,y,z)$，在$[A; i,j, k]$坐标系中不变，因为向量的坐标与原点的选择无关。
步骤 2：向量共面
如果存在不全为0的数$\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3$，使得$\lambda _1a+\lambda _2b+\lambda _3c=0$，则向量$a,b,c$是共面的。这是因为，如果三个向量共面，它们可以表示为一个平面内的向量，即存在线性关系，使得它们的线性组合为零向量。
步骤 3：向量垂直
已知$a=(2,1,2),b=(4,-1,10)$，且$c=b-\lambda a$，$a\bot c$。根据向量垂直的条件，$a\cdot c=0$。将$c$的表达式代入，得到$(2,1,2)\cdot(4-\lambda\cdot2,-1-\lambda\cdot1,10-\lambda\cdot2)=0$，解得$\lambda=3$。
步骤 4：向量叉乘
已知$\vert a\vert=3,\vert b\vert=4,\vert c\vert=5$，且$a+b+c=0$。根据向量叉乘的性质，$a\times b+b\times c+c\times a$的模长等于$2\vert a\times b\vert$，因为$a+b+c=0$，所以$c=-a-b$，代入叉乘公式，得到$\vert a\times b+b\times c+c\times a\vert=2\vert a\times b\vert=2\vert a\vert\vert b\vert\sin\theta$，其中$\theta$是$a$和$b$的夹角。因为$a+b+c=0$，所以$a,b,c$构成一个闭合的三角形，根据余弦定理，可以求出$\sin\theta$，进而求出$\vert a\times b+b\times c+c\times a\vert$的值。