题目

2.曲柄OA长r,以匀角速度w0绕水平轴O转动,通过连杆AC带动半径为R的轮B在固定水-|||-平面上滚动而不滑动。求当 bot AC 如图B.1.11所示瞬时,轮B的角速度和角加速度。(16分)-|||-u-|||-A 30°30-|||-B-|||-C-|||-R-|||-777777777777m mm-|||-图B.1.11

题目解答

本题主要考察刚体平面运动中瞬心法求角速度及角加速度的应用，关键是通过几何关系建立曲柄与滚轮的运动联系。

步骤1：确定滚轮的瞬心与角速度

滚轮B做纯滚动，其瞬心为接触点$P$（速度为零）。设$OA=r$，$AC=l$（图中隐含$AC=2r$，因$OA\perp AC$时$OC=\sqrt{OA^2+AC^2}=\sqrt{r^2+(2r)^2}=\sqrt{5}r$，但核心是用瞬心法）。

曲柄OA绕O匀速转动，$A$点速度$v_A=r\omega_0$（垂直OA）。
连杆AC传递速度，$A$和$C$速度沿AC方向的分量相等：$v_A\cos30^\circ=v_C\cos\theta$（$\theta$为$v_C$与AC夹角）。
滚轮B的瞬心为$P$，$C$点速度$v_C=\omega_B\cdot PC$（$PC$为$C$到$P$的距离）。
几何关系：$PC=\frac{AC}{\cos30^\circ}=\frac{2r}{\sqrt{3}/2}=\frac{4r}{\sqrt{3}}$（假设$AC=2r$，符合常见题型）。
联立得：$\omega_B=\frac{v_C}{PC}=\frac{r\omega_0\cos30^\circ}{PC}=\frac{2\sqrt{3}r\omega_0}{3R}$（逆时针）。

确定滚轮的角加速度

角加速度$\alpha_B=\frac{d\omega_B}{dt}$，需分析$v_C$的变化率：

$v_A=r\omega_0$恒定，$v_C=\frac{v_A\cos30^\circ}{\cos\theta}$，$\theta$不变时$\alpha_B=\frac{\dot{v}_C}{PC}$。
$\dot{v}_C$由$A$点加速度在AC方向的分量提供：$a_A\cos30^\circ=\dot{v}_C$（$a_A=r\omega_0^2$向心加速度）。
代入得：$\dot{v}_C=r\omega_0^2\cos30^\circ$，$\alpha_B=\frac{r\omega_0^2\cos30^\circ}{PC}=\frac{2\sqrt{3}r^2\omega_0^2}{9Rl}$（逆时针，$l=AC$）。