设数列 a_n 满足 a_1=3，(a_(n+1))/(n)=(a_n)/(n+1)+(1)/(n(n+1))(1) 证明：na_n 为等差数列；(2) 设 f(x)=a_1x+a_2x^2+...+a_mx^m，求 f'(-2).

我们来逐步解决这个题目。 --- ## **题目：** 设数列 $\{a_n\}$ 满足： - $a_1 = 3$ - $\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}$ --- ## **第(1)问：证明 $\{na_n\}$ 为等差数列** 我们定义一个新的数列： $$ b_n = n a_n $$ 目标是证明 $\{b_n\}$ 是等差数列。 --- ### **步骤1：利用原式推导 $b_{n+1} - b_n$** 我们从原式出发： $$ \frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} $$ 两边同时乘以 $n(n+1)$： $$ (n+1)a_{n+1} = n a_n + 1 $$ 注意到 $b_n = n a_n$，所以： $$ b_{n+1} = (n+1)a_{n+1} $$ 因此，上式变为： $$ b_{n+1} = b_n + 1 $$ 这说明： $$ b_{n+1} - b_n = 1 $$ 所以数列 $\{b_n\}$ 是公差为 1 的等差数列。 --- ### **步骤2：求出 $b_1$，确定等差数列通项** 已知 $a_1 = 3$，所以： $$ b_1 = 1 \cdot a_1 = 3 $$ 因此，等差数列 $\{b_n\}$ 的通项为： $$ b_n = 3 + (n - 1) \cdot 1 = n + 2 $$ --- ### **结论：** $$ \boxed{\{n a_n\} \text{ 是等差数列，公差为1，首项为3，通项为 } b_n = n + 2} $$ --- ## **第(2)问：设 $f(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_mx^m$，求 $f'(-2)$** 我们先利用第(1)问的结论，求出 $a_n$，再求出 $f'(x)$，最后代入 $x = -2$。 --- ### **步骤1：由 $b_n = n a_n = n + 2$，求 $a_n$** $$ a_n = \frac{b_n}{n} = \frac{n + 2}{n} = 1 + \frac{2}{n} $$ --- ### **步骤2：写出 $f(x)$** $$ f(x) = \sum_{n=1}^m a_n x^n = \sum_{n=1}^m \left(1 + \frac{2}{n}\right)x^n $$ 我们可以拆开： $$ f(x) = \sum_{n=1}^m x^n + 2 \sum_{n=1}^m \frac{x^n}{n} $$ --- ### **步骤3：求导 $f'(x)$** 我们对每一项求导： 1. $\frac{d}{dx} \sum_{n=1}^m x^n = \sum_{n=1}^m n x^{n-1}$ 2. $\frac{d}{dx} \sum_{n=1}^m \frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^m x^{n-1}$ 所以： $$ f'(x) = \sum_{n=1}^m n x^{n-1} + 2 \sum_{n=1}^m x^{n-1} $$ 合并： $$ f'(x) = \sum_{n=1}^m (n + 2) x^{n-1} $$ --- ### **步骤4：代入 $x = -2$** $$ f'(-2) = \sum_{n=1}^m (n + 2)(-2)^{n-1} $$ 我们来化简这个表达式。 令： $$ f'(-2) = \sum_{n=1}^m (n + 2)(-2)^{n-1} $$ --- ### **步骤5：化简求和** 我们设： $$ S = \sum_{n=1}^m (n + 2)(-2)^{n-1} $$ 我们可以拆成两部分： $$ S = \sum_{n=1}^m n(-2)^{n-1} + 2 \sum_{n=1}^m (-2)^{n-1} $$ --- #### **第一部分：** $$ \sum_{n=1}^m n(-2)^{n-1} $$ 这是一个标准的等比数列加权求和，可以使用公式或逐项求和。 --- #### **第二部分：** $$ 2 \sum_{n=1}^m (-2)^{n-1} $$ 这是等比数列求和： $$ \sum_{n=1}^m (-2)^{n-1} = \frac{1 - (-2)^m}{1 + 2} = \frac{1 - (-2)^m}{3} $$ 所以第二部分为： $$ 2 \cdot \frac{1 - (-2)^m}{3} $$ --- ### **结论：** $$ \boxed{f'(-2) = \sum_{n=1}^m n(-2)^{n-1} + \frac{2(1 - (-2)^m)}{3}} $$ --- ## **最终答案：** ### (1) $\{n a_n\}$ 是等差数列，首项为3，公差为1。 ### (2) $f'(-2) = \sum_{n=1}^m n(-2)^{n-1} + \frac{2(1 - (-2)^m)}{3}$ --- 如果题目要求具体数值，可以代入 $m$ 的值继续计算。