题目
若随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=}x+y, & 0leq xleq1,0leq yleq1, 0, & (其他)
若随机变量(X,Y)的概率密度为$f(x,y)=\begin{cases}x+y, & 0\leq x\leq1,0\leq y\leq1, \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$, 则(X,Y)关于Y的边缘概率密度为
A. $f_{Y}(y)=\begin{cases}y+\frac{1}{3}, & 0< y< 1, \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$
B. $f_{Y}(y)=\begin{cases}y+\frac{1}{4}, & 0< y< 1, \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$
C. $f_{Y}(y)=\begin{cases}y+\frac{1}{5}, & 0< y< 1, \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$
D. $f_{Y}(y)=\begin{cases}y+\frac{1}{2}, & 0< y< 1, \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$
题目解答
答案
D. $f_{Y}(y)=\begin{cases}y+\frac{1}{2}, & 0< y< 1, \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$
解析
步骤 1：确定边缘概率密度的定义
边缘概率密度 $f_Y(y)$ 是通过在 $X$ 的所有可能值上积分联合概率密度 $f(x,y)$ 来获得的。对于给定的 $y$，$f_Y(y)$ 由下式给出： \[ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dx \] 由于 $f(x,y)$ 在 $0 \le x \le 1$ 和 $0 \le y \le 1$ 时为 $x + y$，在其他情况下为 0，我们只需在 $0 \le x \le 1$ 的范围内积分。
步骤 2：计算边缘概率密度
将 $f(x,y)$ 的表达式代入积分中，我们得到： \[ f_Y(y) = \int_{0}^{1} (x + y) \, dx \] 我们可以将积分分为两部分： \[ f_Y(y) = \int_{0}^{1} x \, dx + \int_{0}^{1} y \, dx \] 第一个积分是： \[ \int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \] 第二个积分是： \[ \int_{0}^{1} y \, dx = y \int_{0}^{1} 1 \, dx = y \left[ x \right]_{0}^{1} = y (1 - 0) = y \] 将这两个结果相加，我们得到： \[ f_Y(y) = \frac{1}{2} + y \] 这个表达式在 $0 \le y \le 1$ 时有效。对于 $y$ 的其他值，边缘概率密度为 0。
步骤 3：确定正确答案
根据上述计算，关于 $Y$ 的边缘概率密度为： \[ f_Y(y) = \begin{cases} y + \frac{1}{2}, & 0 \le y \le 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \] 因此，正确答案是： \[\boxed{D}\]
边缘概率密度 $f_Y(y)$ 是通过在 $X$ 的所有可能值上积分联合概率密度 $f(x,y)$ 来获得的。对于给定的 $y$，$f_Y(y)$ 由下式给出： \[ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dx \] 由于 $f(x,y)$ 在 $0 \le x \le 1$ 和 $0 \le y \le 1$ 时为 $x + y$，在其他情况下为 0，我们只需在 $0 \le x \le 1$ 的范围内积分。
步骤 2：计算边缘概率密度
将 $f(x,y)$ 的表达式代入积分中，我们得到： \[ f_Y(y) = \int_{0}^{1} (x + y) \, dx \] 我们可以将积分分为两部分： \[ f_Y(y) = \int_{0}^{1} x \, dx + \int_{0}^{1} y \, dx \] 第一个积分是： \[ \int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \] 第二个积分是： \[ \int_{0}^{1} y \, dx = y \int_{0}^{1} 1 \, dx = y \left[ x \right]_{0}^{1} = y (1 - 0) = y \] 将这两个结果相加，我们得到： \[ f_Y(y) = \frac{1}{2} + y \] 这个表达式在 $0 \le y \le 1$ 时有效。对于 $y$ 的其他值，边缘概率密度为 0。
步骤 3：确定正确答案
根据上述计算，关于 $Y$ 的边缘概率密度为： \[ f_Y(y) = \begin{cases} y + \frac{1}{2}, & 0 \le y \le 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \] 因此，正确答案是： \[\boxed{D}\]