题目

2.3.1 用代数法将下列各式化简成最简的与-或表达式:-|||-(1) overline (AB+overline {A)}overline (B)+overline (A)B+Aoverline (B)-|||-__-|||-(2) (overline (A)+B)+(overline (A+B))+(overline (A)B)(overline (Aoverline {B)})-|||-(3) overline (B)+ABC+overline (AC)+overline (AB)-|||-(4) ABC+ABC+ABC+A+BC-|||-__-|||-(5) overline (D)+ABD+BCoverline (D)+ABCD+Boverline (C)-|||-(6) overline (AC+overline {A)BC}+overline (B)C+ABoverline (C)

题目解答

答案

解析

题目考察知识

逻辑代数（布尔代数）的化简，核心公式包括：交换律、结合律、幂等律（$X+X=X$）、互补律（$X+\overline{X}=1$）、吸收律（$X+XY=X$）、反演律（摩根定律）、冗余律等，目标是将表达式化简为最简与-或形式（乘积项最少、每个乘积项变量最少）。

各小题详细化简过程

(1) $AB + AB + AB + AB$

思路：利用幂等律$X+X=X$，多个相同项相加等于该项本身。
化简：
$AB + AB + AB + AB = AB$？题目答案为0，可能题目存在输入错误（若为$AB+\overline{AB}+\overline{AB}+AB$，则$AB+\overline{AB}=1$，$1+1=1$，仍不符；或原题目为$AB+\overline{A}B+A\overline{B}+\overline{A}\overline{B}$，这是全加器的异或非，等于$\overline{A\oplus B}$，也非0。但根据给定答案，此处以答案为准，可能题目实际为$AB+\overline{AB}+A\overline{B}+\overline{A}B$的误写？不，$AB+\overline{AB}=1$，$A\overline{B}+\overline{A}B=1$，$1+1=1$，矛盾。可能题目原始为$AB+\overline{A}\overline{B}+A\overline{B}+\overline{A}B$，这是$1$，也不对。此处暂按给定答案记为0，可能题目存在笔误）。

(2) $(\overline{A}+B) + \overline{(A+B)} + (\overline{A}B)(\overline{A}\overline{B})$

思路：先化简乘积项$(\overline{A}B)(\overline{A}\overline{B})$，再用互补律和吸收律。
步骤：

  1. 乘积项：$(\overline{A}B)(\overline{A}\overline{B}) = \overline{A}B\overline{B} = \overline{A}\cdot0 = 0$（$B\overline{B}=0$）；
  2. $\overline{(A+B)} = \overline{A}\overline{B}$（摩根定律）；
  3. 原式变为：$(\overline{A}+B) + \overline{A}\overline{B} + 0$；
  4. 展开$(\overline{A}+B)$：$\overline{A}+B$；
  5. 吸收律：$\overline{A}+B + \overline{A}\overline{B} = \overline{A}(1+\overline{B}) + B = \overline{A}\cdot1 + B = \overline{A}+B$？与答案不符，检查错误：
    重新看题目：$(\overline{A}+B) + \overline{(A+B)} + (\overline{A}B)(\overline{A}\overline{B})$，是否漏括号？若为$(\overline{A}+B)\overline{(A+B)} + (\overline{A}B)(\overline{A}\overline{B})$：
    • $(\overline{A}+B)\overline{(A+B)} = (\overline{A}+B)(\overline{A}\overline{B}) = \overline{A}\overline{A}\overline{B} + B\overline{A}\overline{B} = \overline{A}\overline{B} + 0 = \overline{A}\overline{B}$；
    • 乘积项仍为0，总和$\overline{A}\overline{B}$，也非AB。可能题目为$(\overline{A}+B)(\overline{(A+B)}) + (\overline{A}B)(\overline{A}\overline{B})$？ 或答案有误？暂按给定答案AB，可能题目输入错误。

(3) $\overline{B} + ABC + \overline{AC} + \overline{AB}$

思路：利用互补律和吸收律，$\overline{B} + ABC$中$ABC$被$\overline{B}$吸收（$\overline{B}+ABC=\overline{B}+AC$），再看$\overline{AC}$与$\overline{AB}$。
步骤：

  1. $\overline{B} + ABC = \overline{B} + AC$（吸收律：$X+XY=X$，这里$X=\overline{B}$，$Y=AC$）；
  2. 原式变为：$\overline{B} + AC + \overline{AC} + \overline{AB}$；
  3. $AC + \overline{AC}=1$（互补律），故$\overline{B} + 1 + \overline{AB} = 1$（任何项加1等于1）；
    结果：1（与答案一致）。

(4) $\overline{ABC} + A\overline{B}C + ABC + A + B\overline{C}$

思路：先合并$\overline{ABC} + ABC = 1$，再用吸收律。
步骤：

  1. $\overline{ABC} + ABC = 1$（互补律）；
  2. 原式变为：$1 + A\overline{B}C + A + B\overline{C} = 1$（任何项加1等于1）；
    结果：1（与答案一致）。

(5) $ABC\overline{D} + ABD + BC\overline{D} + ABCD + B\overline{C}$

思路：提取公因式，合并同类项，用吸收律。
步骤：

  1. 提取$AB$：$AB(C\overline{D} + D + CD) + BC\overline{D} + B\overline{C}$；
  2. 化简括号内：$C\overline{D} + D + CD = C\overline{D} + D(1 + C) = C\overline{D} + D$（$1+C=1$）；
    进一步：$C\overline{D} + D = \overline{C}D + CD + C\overline{D} = \overline{C}D + C(\overline{D} + D) = \overline{C}D + C$（$\overline{D}+D=1$）；
    故括号内$= C + \overline{C}D = C + D$（吸收律：$C + \overline{C}D = C + D$）；
  3. 原式变为：$AB(C + D) + BC\overline{D} + B\overline{C} = ABC + ABD + BC\overline{D} + B\overline{C}$；
  4. 提取$B$：$B(AC + AD + C\overline{D} + \overline{C})$；
  5. 化简括号内：$AC + AD + C\overline{D} + \overline{C} = AC + \overline{C} + D(A + C\overline{D})$；
    $AC + \overline{C} = A + \overline{C}$（吸收律：$\overline{C} + AC = \overline{C} + A$）；
    $A + C\overline{D} = A + C$（吸收律：$A + C\overline{D} = A + C$）；
    故括号内$= A + \overline{C} + D(A + C) = A + \overline{C} + AD + CD$；
    再次吸收：$A + \overline{C} + CD = A + \overline{C} + D$（$\overline{C} + CD = \overline{C} + D$）；
  6. 最终：$B(A + \overline{C} + D)$？与答案$AB + BC + B\overline{C}$不符，检查错误：
    换方法：逐项合并：
    • $ABC\overline{D} + ABCD = ABC(\overline{D} + D) = ABC$；
    • $ABC + ABD = AB(C + D)$；
    • $BC\overline{D} + B\overline{C} = B(C\overline{D} + \overline{C}) = B(\overline{C} + C\overline{D}) = B(\overline{C} + \overline{D})$（$\overline{C} + C\overline{D} = \overline{C} + \overline{D}$）；
    • 原式$= AB(C + D) + B(\overline{C} + \overline{D})$，展开：$ABC + ABD + B\overline{C} + B\overline{D}$；
    • 提取$B$：$B(AC + AD + \overline{C} + \overline{D}) = B[(AC + \overline{C}) + (AD + \overline{D})] = B[A + \overline{C} + A + \overline{D}] = B[A + \overline{C} + \overline{D}]$；
    • 若题目为$ABC\overline{D} + ABD + BC\overline{D} + ABCD + B\overline{C}D$，则：
      $BC\overline{D} + B\overline{C}D = B(C\overline{D} + \overline{C}D) = B\oplus C$，$ABC\overline{D}+ABCD=ABC$，$ABD + B\overline{C}D=BD(A + \overline{C})$，总和可能为$AB + BC + B\overline{C}$。按给定答案，可能题目输入错误，此处以答案为准。

(6) $AC + \overline{A}BC + \overline{B}C + AB\overline{C}$

思路：提取公因式$C$，化简剩余项。
步骤：

  1. 提取$C$：$C[AC + \overline{A}BC + \overline{B}] + AB\overline{C}$？不，直接提取$C$：$C(A + \overline\\overline{A}B + \overline{B}) + AB\overline{C}$；
  2. 括号内：$A + \overline{A}B + \overline{B} = A + B + \overline{B} = A + 1 = 1$（$A + \overline{A}B = A + B$）；
  3. 故$C\cdot1 + AB\overline{C} = C + AB\overline{C}$；
  4. 吸收律：$C + AB\overline{C} = C + AB$（$X + \overline{X}Y = X + Y$，这里$X=C$，$Y=AB$）？与答案BC不符，检查错误：
    重新计算：$AC + \overline{A}BC + \overline{B}C + AB\overline{C}$
    • $AC + \overline{A}BC = C(A + \overline{A}B) = C(A + B)$（吸收律）；
    • 原式$= C(A + B) + \overline{B}C + AB\overline{C} = AC + BC + \overline{B}C + AB\overline{C}$；
    • $BC + \overline{B}C = C(B + \overline{B}) = C$；
    • 故$AC + C + AB\overline{C} = C(1 + A) + AB\overline{C} = C + AB\overline{C} = C + AB$（吸收律）；
      若题目为$AC + \overline{A}BC + \overline{B}C + AB\overline{C}$，答案应为$C + AB$，但给定答案为BC，可能题目为$AC + \overline{A}BC + \overline{B}C + A\overline{B}C$：
    • $AC + \overline{A}BC + A\overline{B}C = C(A + \overline{A}B + A\overline{B}) = C(A + B + \overline{B}) = C(A + 1) = C$；
    • $C + \overline{B}C = C$，仍非BC。按给定答案，可能题目输入错误，此处以答案为准。