(2)设函数f(x)连续可导且 (0)=-2, 若曲线积分 iint [ ysin 2x-yf(x)tan x] dx+f(x)dy 与-|||-路径无关,则 f(x)= ()-|||-A. -dfrac (2)(3)(cos )^2x-dfrac (4)(3cos x) B. -2(cos )^2x-|||-C. -2cos x D. -dfrac (2)(3)cos x-dfrac (4)(3cos x)

考查要点：本题主要考查曲线积分与路径无关的条件，以及利用一阶线性微分方程求解函数表达式的能力。

解题核心思路：

1. 路径无关条件：若曲线积分 $\int_C P \, dx + Q \, dy$ 与路径无关，则 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$。
2. 构造微分方程：通过偏导数相等的条件，建立关于 $f(x)$ 的微分方程。
3. 求解微分方程：将方程转化为标准一阶线性微分方程形式，利用积分因子法求解，并结合初始条件 $f(0) = -2$ 确定常数。

破题关键点：

• 正确计算偏导数 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial Q}{\partial x}$。
• 灵活变形方程，选择恰当的积分因子。
• 代入初始条件验证解的合理性。

步骤1：确定路径无关条件

设积分形式为 $P \, dx + Q \, dy$，其中：
$P = y \sin 2x - y f(x) \tan x, \quad Q = f(x)$
根据路径无关条件 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，计算偏导数：
$\frac{\partial P}{\partial y} = \sin 2x - f(x) \tan x, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = f'(x)$
因此得到方程：
$\sin 2x - f(x) \tan x = f'(x)$

步骤2：整理微分方程

将 $\sin 2x$ 写为 $2 \sin x \cos x$，方程变形为：
$f'(x) + f(x) \tan x = 2 \sin x \cos x$
这是标准的一阶线性微分方程，形式为 $f'(x) + P(x) f(x) = Q(x)$，其中：
$P(x) = \tan x, \quad Q(x) = 2 \sin x \cos x$

步骤3：求积分因子

积分因子为：
$\mu(x) = \exp\left(\int \tan x \, dx\right) = \exp(-\ln |\cos x|) = \frac{1}{\cos x}$

步骤4：方程两边乘以积分因子

方程变为：
$\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{\cos x} \right) = 2 \sin x$
积分得：
$\frac{f(x)}{\cos x} = -2 \cos x + C$
即：
$f(x) = -2 \cos^2 x + C \cos x$

步骤5：代入初始条件

由 $f(0) = -2$，代入 $x = 0$：
$-2 = -2 \cdot 1^2 + C \cdot 1 \implies C = 0$
因此，$f(x) = -2 \cos^2 x$，对应选项 B。