题目
函数 f(t)=sin^2 t 的傅氏变换 mathcal(F)[f(t)] 为(). A. -(pi)/(2)[delta(omega-2)-2delta(omega)+delta(omega+2)];B. -(pi)/(2)i[delta(omega-2)-2delta(omega)+delta(omega+2)]+C. -(pi)/(2)[delta(omega-2)+2delta(omega)+delta(omega+2)];D. -(pi)/(2)i[delta(omega-2)+2delta(omega)+delta(omega+2)].+
函数 $f(t)=\sin^2 t$ 的傅氏变换 $\mathcal{F}[f(t)]$ 为().
- A. $-\frac{\pi}{2}[\delta(\omega-2)-2\delta(\omega)+\delta(\omega+2)]$;
- B. $-\frac{\pi}{2}i[\delta(\omega-2)-2\delta(\omega)+\delta(\omega+2)]+$
- C. $-\frac{\pi}{2}[\delta(\omega-2)+2\delta(\omega)+\delta(\omega+2)]$;
- D. $-\frac{\pi}{2}i[\delta(\omega-2)+2\delta(\omega)+\delta(\omega+2)].+$
题目解答
答案
为了求解函数 $ f(t) = \sin^2 t $ 的傅里叶变换 $ F[f] $，我们首先使用三角恒等式将 $ \sin^2 t $ 表达为更简单的形式。我们知道：
\[
\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}
\]
因此，函数 $ f(t) $ 可以重写为：
\[
f(t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t
\]
傅里叶变换 $ F[f] $ 定义为：
\[
F[f](\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} \, dt
\]
将 $ f(t) $ 的表达式代入，我们得到：
\[
F[f](\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t \right) e^{-i \omega t} \, dt
\]
这个积分可以分为两个独立的积分：
\[
F[f](\omega) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} \, dt - \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \cos 2t \, e^{-i \omega t} \, dt
\]
第一个积分是狄拉克 delta 函数的傅里叶变换：
\[
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} \, dt = 2\pi \delta(\omega)
\]
因此，第一个项变为：
\[
\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} \, dt = \frac{1}{2} \cdot 2\pi \delta(\omega) = \pi \delta(\omega)
\]
对于第二个积分，我们使用余弦函数的傅里叶变换。余弦函数 $ \cos 2t $ 可以表示为指数形式：
\[
\cos 2t = \frac{e^{i 2t} + e^{-i 2t}}{2}
\]
将此代入积分，我们得到：
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \cos 2t \, e^{-i \omega t} \, dt = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i 2t} + e^{-i 2t}}{2} e^{-i \omega t} \, dt = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i (2-\omega) t} \, dt + \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i (2+\omega) t} \, dt
\]
每个积分都是狄拉克 delta 函数：
\[
\int_{-\infty}^{\infty} e^{i (2-\omega) t} \, dt = 2\pi \delta(\omega - 2) \quad \text{和} \quad \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i (2+\omega) t} \, dt = 2\pi \delta(\omega + 2)
\]
因此，第二个项变为：
\[
\frac{1}{2} \left( 2\pi \delta(\omega - 2) + 2\pi \delta(\omega + 2) \right) = \pi \delta(\omega - 2) + \pi \delta(\omega + 2)
\]
将所有项组合，我们得到：
\[
F[f](\omega) = \pi \delta(\omega) - \frac{1}{2} \left( \pi \delta(\omega - 2) + \pi \delta(\omega + 2) \right) = \pi \delta(\omega) - \frac{\pi}{2} \delta(\omega - 2) - \frac{\pi}{2} \delta(\omega + 2)
\]
提取公因子 $-\frac{\pi}{2}$，我们得到：
\[
F[f](\omega) = -\frac{\pi}{2} \left( \delta(\omega - 2) - 2 \delta(\omega) + \delta(\omega + 2) \right)
\]
因此，正确答案是：
\[
\boxed{A}
\]
解析
本题考查函数的傅里叶变换，解题思路是先利用三角恒等式将函数 $\sin^2 t$ 化简，再根据傅里叶变换的定义和性质分别计算化简后各项的傅里叶变换，最后将结果组合起来。
- 化简函数 $f(t)$：
根据三角恒等式 $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$，可得 $f(t)=\sin^2 t=\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t$。 - 根据傅里叶变换定义计算 $F[f](\omega)$：
傅里叶变换的定义为 $F[f](\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} \, dt$，将 $f(t)=\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t$ 代入可得：
$F[f](\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t \right) e^{-i \omega t} \, dt$
由积分的线性性质，可将上式拆分为两个积分：
$F[f](\omega) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} \, dt - \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \cos 2t \, e^{-i \omega t} \, dt$ - 计算第一个积分：
根据狄拉克 $\delta$ 函数的傅里叶变换性质，$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} \, dt = 2\pi \delta(\omega)$，则：
$\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} \, dt = \frac{1}{2} \cdot 2\pi \delta(\omega) = \pi \delta(\omega)$ - 计算第二个积分：
先将 $\cos 2t$ 表示为指数形式 $\cos 2t = \frac{e^{i 2t} + e^{-i 2t}}{2}$，代入积分可得：
$\int_{-\coscos 2t\ e^{-i\omega t}\ dt=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i 2t} + e^{-i 2t}}{2} e^{-i \omega t} \, dt = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i (2-\omega) t} \, dt + \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i (2+\omega) t} \, dt$
再根据狄拉克 $\delta$ 函数的傅里叶变换性质，$\int_{-\infty}^{\infty} e^{i (2-\omega) t} \, dt = 2\pi \delta(\omega - 2)$ 和 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i (2+\omega) t} \, dt = 2\pi \delta(\omega + 2)$，则：
$\frac{1}{2} \left( 2\pi \delta(\omega - 2) + 2\pi \delta(\omega + 2) \right) = \pi \delta(\omega - 2) + \pi \delta(\omega + 2)$ - 组合结果：
将第一个积分和第二个积分的结果代入 $F[f](\omega)$ 的表达式可得：
$F[f](\omega) = \pi \delta(\omega) - \frac{1}{2} \left( \pi \delta(\omega - 2) + \pi \delta(\omega + 2) \right) = \pi \delta(\omega) - \frac{\pi}{2} \delta(\omega - 2) - \frac{\pi}{2} \delta(\omega + 2)$
提取公因子 $-\frac{\pi}{2}$，得到：
$F[f](\omega) = -\frac{\pi}{2} \left( \delta(\omega - 2) - 2 \delta(\omega) + \delta(\omega + 2) \right)$