若用复合梯形公式计算积分 I = int_(1)^2 ln x , dx，问区间 [1, 2] 应分多少等份才能使截断误差不超过 (1)/(2) times 10^-5？若改用复合辛普森公式，要达到同样精度区间 [1, 2] 应分多少等份？

一、复合梯形公式的误差估计与等份数计算

1. 误差公式与参数说明

复合梯形公式的截断误差公式为：
$R_T = -\frac{(b-a)h^2}{12} f''(\xi)$
其中：

• 积分区间 $[a,b] = [1,2]$，故 $b-a=1$；
• 步长 $h = \frac{b-a}{n} = \frac{1}{n}$（$n$ 为等份数）；
• 被积函数 $f(x)=\ln x$，其二阶导数 $f''(x)=-\frac{1}{x^2}$。

2. 二阶导数的最大值

$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$ 在 $[1,2]$ 上单调递增（因 $x^2$ 递增，$-\frac{1}{x^2}$ 递减？不，$x$ 增大时 $x^2$ 增大，$-\frac{1}{x^2}$ 增大，故最大值在 $x=2$ 处？不，$x=1$ 时 $f''(1)=-1$，$x=2$ 时 $f''(2)=-1/4$，故 $|f''(x)|$ 的最大值为 $1$（在 $x=1$ 处）。

3. 误差不等式求解

截断误差的绝对值要求：
$|R_T| \leq \frac{1}{2} \times 10^{-5}$
代入误差公式：
$\left| -\frac{1 \cdot h^2}{12} \cdot f''(\xi) \right| \leq \frac{1}{2} \times 10^{-5}$
因 $|f''(\xi)| \leq 1$，故：
$\frac{h^2}{12} \times 1 \leq \frac{1}{2} \times 10^{-5}$
解得：
$h^2 \leq 6 \times 10^{-5} \implies h \leq \sqrt{6 \times 10^{-5}} \approx 0.007746$
又 $h=\frac{1}{n}$，故：
$n \geq \frac{1}{0.007746} \approx 129.1$
取整数 $n=130$。

二、复合辛普森公式的误差估计与等份数计算

1. 误差公式与参数说明

复合辛普森公式的截断误差公式为：
$R_S = -\frac{(b-a)h^4}{180} f^{(4)}(\xi)$
其中：

• $b-a=1$，步长 $h=\frac{1}{n}$（$n$ 需为偶数）；
• $f(x)=\ln x$ 的四阶导数：$f'(x)=\frac{1}{x}$，$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$，$f'''(x)=\frac{2}{x^3}$，$f^{(4)}(x)=-\frac{6}{x^4}$。

2. 四阶导数的最大值

$f^{(4)}(x)=-\frac{6}{x^4}$ 在 $[1,2]$ 上，$|f^{(4)}(x)|$ 的最大值在 $x=1$ 处：$|f^{(4)}(1)|=6$。

3. 误差不等式求解

截断误差要求：
$|R_S| \leq \frac{1}{2} \times 10^{-5}$
代入误差公式：
$\left| -\frac{1 \cdot h^4}{180} \cdot f^{(4)}(\xi) \right| \leq \frac{1}{2} \times 10^{-5}$
因 $|f^{(4)}(\xi)| \leq 6$，故：
$\frac{h^4}{180} \times 6 \leq \frac{1}{2} \times 10^{-5}$
化简：
$\frac{h^4}{30} \leq \frac{1}{2} \times 10^{-5} \implies h^4 \leq 15 \times 10^{-5} = 1.5 \times 10^{-4}$
解得：
$h \leq (1.5 \times 10^{-4})^{1/4} \approx 0.11067$
又 $h=\frac{1}{n}$，故：
$n \geq \frac{1}{0.11067} \approx 9.03$
因 $n$ 需为偶数，取 $n=10$。