题目
函数__-|||-(x)=dfrac ({x)^2-x}({x)^2-1} sqrt (1+dfrac {1)({x)^2}}-|||-__的无穷间断点的个数为:（ ）。A、0B、1C、2D、3
函数
的无穷间断点的个数为:（ ）。
- A、0
- B、1
- C、2
- D、3
题目解答
答案
B. 1
解析
步骤 1：确定函数的定义域
函数$f(x)=\dfrac {{x}^{2}-x}{{x}^{2}-1}\sqrt {1+\dfrac {1}{{x}^{2}}}$的定义域为$x\neq \pm 1$，因为分母${x}^{2}-1$在$x=\pm 1$时为0，导致函数在这些点上没有定义。
步骤 2：分析函数在$x=\pm 1$处的行为
当$x\rightarrow 1$时，分子${x}^{2}-x$趋向于0，而分母${x}^{2}-1$也趋向于0，但$\sqrt {1+\dfrac {1}{{x}^{2}}}$趋向于$\sqrt{2}$。因此，我们需要分析$\dfrac {{x}^{2}-x}{{x}^{2}-1}$在$x\rightarrow 1$时的行为。由于分子和分母都趋向于0，我们使用洛必达法则，得到$\lim_{x\to 1}\dfrac {{x}^{2}-x}{{x}^{2}-1}=\lim_{x\to 1}\dfrac {2x-1}{2x}=\dfrac{1}{2}$。因此，$\lim_{x\to 1}f(x)=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$，说明$x=1$不是无穷间断点。
当$x\rightarrow -1$时，分子${x}^{2}-x$趋向于2，而分母${x}^{2}-1$趋向于0，但$\sqrt {1+\dfrac {1}{{x}^{2}}}$趋向于$\sqrt{2}$。因此，$\lim_{x\to -1}f(x)$趋向于无穷大，说明$x=-1$是无穷间断点。
步骤 3：总结
综上所述，函数$f(x)$只有一个无穷间断点，即$x=-1$。
函数$f(x)=\dfrac {{x}^{2}-x}{{x}^{2}-1}\sqrt {1+\dfrac {1}{{x}^{2}}}$的定义域为$x\neq \pm 1$，因为分母${x}^{2}-1$在$x=\pm 1$时为0，导致函数在这些点上没有定义。
步骤 2：分析函数在$x=\pm 1$处的行为
当$x\rightarrow 1$时，分子${x}^{2}-x$趋向于0，而分母${x}^{2}-1$也趋向于0，但$\sqrt {1+\dfrac {1}{{x}^{2}}}$趋向于$\sqrt{2}$。因此，我们需要分析$\dfrac {{x}^{2}-x}{{x}^{2}-1}$在$x\rightarrow 1$时的行为。由于分子和分母都趋向于0，我们使用洛必达法则，得到$\lim_{x\to 1}\dfrac {{x}^{2}-x}{{x}^{2}-1}=\lim_{x\to 1}\dfrac {2x-1}{2x}=\dfrac{1}{2}$。因此，$\lim_{x\to 1}f(x)=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$，说明$x=1$不是无穷间断点。
当$x\rightarrow -1$时，分子${x}^{2}-x$趋向于2，而分母${x}^{2}-1$趋向于0，但$\sqrt {1+\dfrac {1}{{x}^{2}}}$趋向于$\sqrt{2}$。因此，$\lim_{x\to -1}f(x)$趋向于无穷大，说明$x=-1$是无穷间断点。
步骤 3：总结
综上所述，函数$f(x)$只有一个无穷间断点，即$x=-1$。