题目
求幂级数收敛半径sum _(n=1)^infty ((-1))^ndfrac ({x)^2n+1}(2n+1)sum _(n=1)^infty ((-1))^ndfrac ({x)^2n+1}(2n+1)sum _(n=1)^infty ((-1))^ndfrac ({x)^2n+1}(2n+1)sum _(n=1)^infty ((-1))^ndfrac ({x)^2n+1}(2n+1)sum _(n=1)^infty ((-1))^ndfrac ({x)^2n+1}(2n+1)
求幂级数收敛半径
题目解答
答案
令
∴
∴
当
时，级数绝对收敛；
当
时，级数发散，
∴原级数收敛半径为1.
故，选
解析
步骤 1：定义幂级数的通项
令${u}_{n}={(-1)}^{n}\dfrac {{x}^{2n+1}}{2n+1}$，这是幂级数的通项。
步骤 2：计算相邻项的比值
计算相邻项的绝对值比值$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {|{u}_{n+1}|}{|{u}_{n}|}$，其中${u}_{n+1}={(-1)}^{n+1}\dfrac {{x}^{2n+3}}{2n+3}$。
步骤 3：求极限
$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {|{u}_{n+1}|}{|{u}_{n}|}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {2n+1}{2n+3}|{x}^{2}|=|{x}^{2}|$。
步骤 4：确定收敛半径
当$|x|\lt 1$时，级数绝对收敛；当$|x|\gt 1$时，级数发散。因此，原级数收敛半径为1。
令${u}_{n}={(-1)}^{n}\dfrac {{x}^{2n+1}}{2n+1}$，这是幂级数的通项。
步骤 2：计算相邻项的比值
计算相邻项的绝对值比值$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {|{u}_{n+1}|}{|{u}_{n}|}$，其中${u}_{n+1}={(-1)}^{n+1}\dfrac {{x}^{2n+3}}{2n+3}$。
步骤 3：求极限
$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {|{u}_{n+1}|}{|{u}_{n}|}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {2n+1}{2n+3}|{x}^{2}|=|{x}^{2}|$。
步骤 4：确定收敛半径
当$|x|\lt 1$时，级数绝对收敛；当$|x|\gt 1$时，级数发散。因此，原级数收敛半径为1。