已知函数 =(x)^2cos 2x+arctan (e)^x ,求y`

考查要点：本题主要考查乘积法则和链式法则的应用，以及基本导数公式的运用。

解题核心思路：

1. 分解函数：将函数拆分为两个部分，分别求导后相加。
2. 乘积法则：对形如$x^2 \cos 2x$的乘积项，需分别对$x^2$和$\cos 2x$求导后组合。
3. 链式法则：对$\arctan e^x$中的复合函数结构，需逐层求导。

破题关键点：

• 识别运算结构：明确函数中的乘积项和复合函数项。
• 正确应用公式：熟练运用导数公式，如$(\cos u)' = -u' \sin u$和$(\arctan u)' = \frac{u'}{1+u^2}$。

题目：已知函数$y = x^2 \cos 2x + \arctan e^x$，求$y'$。

步骤1：分解函数

将函数分为两部分：

1. 第一部分：$x^2 \cos 2x$
2. 第二部分：$\arctan e^x$

步骤2：对第一部分求导

使用乘积法则$(uv)' = u'v + uv'$，其中：

• $u = x^2$，则$u' = 2x$
• $v = \cos 2x$，则$v' = -2 \sin 2x$（链式法则）

代入公式得：
$\begin{aligned}\frac{d}{dx}(x^2 \cos 2x) &= 2x \cdot \cos 2x + x^2 \cdot (-2 \sin 2x) \\&= 2x \cos 2x - 2x^2 \sin 2x\end{aligned}$

步骤3：对第二部分求导

使用链式法则，设$u = e^x$，则$\frac{d}{dx}(\arctan u) = \frac{u'}{1+u^2}$：
$\frac{d}{dx}(\arctan e^x) = \frac{e^x}{1 + (e^x)^2} = \frac{e^x}{1 + e^{2x}}$

步骤4：合并结果

将两部分导数相加：
$y' = 2x \cos 2x - 2x^2 \sin 2x + \frac{e^x}{1 + e^{2x}}$