已知数列(x_n)=(1+(-1)^n)^n，则________。A. lim_(n to infty) x_n neq infty，但无界B. 发散，但有界C. lim_(n to infty) x_n = 0D. lim_(n to infty) x_n = infty

考查要点：本题主要考查数列的极限存在性、有界性及发散性的判断，需要结合数列的奇偶项分别分析。

解题核心思路：

1. 拆分奇偶项：利用$(-1)^n$的周期性，将数列分为奇数项和偶数项分别讨论。
2. 判断极限存在性：若奇偶子列的极限不同或发散，则原数列无极限。
3. 判断有界性：若存在子列无界，则原数列无界。

破题关键点：

• 奇偶项的表达式差异：奇数项恒为0，偶数项为$2^n$，导致数列行为分裂。
• 极限不存在的判定：奇偶子列的极限不一致，且偶数项子列发散到无穷。
• 无界性的判定：偶数项$2^n$随$n$增大无限增长，数列整体无界。

步骤1：拆分奇偶项

• 当$n$为偶数时，$(-1)^n = 1$，此时$x_n = (1+1)^n = 2^n$。
• 当$n$为奇数时，$(-1)^n = -1$，此时$x_n = (1-1)^n = 0^n = 0$。

步骤2：分析奇偶子列的极限

• 奇数项子列：$\lim_{k \to \infty} x_{2k-1} = \lim_{k \to \infty} 0 = 0$。
• 偶数项子列：$\lim_{k \to \infty} x_{2k} = \lim_{k \to \infty} 2^{2k} = +\infty$。
• 结论：奇偶子列的极限不一致，且偶数项子列发散到无穷，因此原数列$\lim_{n \to \infty} x_n$不存在。

步骤3：判断有界性

• 偶数项$x_{2k} = 2^{2k}$随$k$增大无限增长，对任意$M > 0$，存在$k$使得$2^{2k} > M$。
• 结论：数列无界。

步骤4：选项分析

• A：$\lim_{n \to \infty} x_n \neq \infty$（正确，极限不存在），且无界（正确）。
• B：发散（正确），但有界（错误）。
• C：$\lim_{n \to \infty} x_n = 0$（错误，极限不存在）。
• D：$\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$（错误，极限不存在）。