设随机变量^X,Y相互独立，且均服从(0,1)均匀分布，则下列中服从均匀分布的是()A. (X,Y)B. X+YC. X²D. X-Y

本题考查均匀分布的性质以及随机变量独立性的相关知识。解题的关键在于根据已知条件，分别分析每个选项所涉及的随机变量是否服从均匀分布。

选项A

已知随机变量$X$和$Y$相互独立，且均服从$(0,1)$均匀分布。

• 对于二维随机变量$(X,Y)$，由于$X$和$Y$相互独立，那么$(X,Y)$的联合概率密度函数$f(x,y)$等于$X$的概率密度函数$f_X(x)$与$Y$的概率密度函数$f_Y(y)$的乘积。
• $X$服从$(0,1)$均匀分布，其概率密度函数为$f_X(x)=\begin{cases}1, & 0<x<1 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$；同理$Y$的概率密度函数为$f_Y(y)=\begin{cases}1, & 0<y<1 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$。
• 所以$(X,Y)$的联合概率密度函数$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=\begin{cases}1\times1 = 1, & 0<x<1,0<y<1 \\ 0\times0 = 0, & \text{其他}\end{cases}$，即$f(x,y)=\begin{cases}1, & 0<x<1,0<y<1 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$，这表明$(X,Y)$服从区域$\{(x,y)|0<x<1,0<y<1\}$上的二维均匀分布。

选项B

要求$Z = X + Y$的分布，可使用卷积公式$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z - x)dx$。

• 已知$f_X(x)=\begin{cases}1, & 0<x<1 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$，$f_Y(y)=\begin{cases}1, & 0<y<1 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$，则$f_Y(z - x)=\begin{cases}1, & 0<z - x<1 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$。
• 当$z\leqslant0$时，$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}0dx = 0$；
• 当$0<z<1$时，$f_Z(z)=\int_{0}^{z}1dx=z$；
• 当$1\leqslant z<2$时，$f_Z(z)=\int_{z - 1}^{1}1dx=2 - z$；
• 当$z\geqslant2$时，$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}0dx = 0$。
• 所以$Z = X + Y$的概率密度函数为$f_Z(z)=\begin{cases}z, & 0<z<1 \\ 2 - z, & 1\leqslant z<2 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$，不服从均匀分布。

选项C

设$Z = X^2$，先求$Z$的分布函数$F_Z(z)=P(Z\leqslant z)=P(X^2\leqslant z)$。

• 当$z\leqslant0$时，$F_Z(z)=0$；
• 当$0<z<1$时，$F_Z(z)=P(-\sqrt{z}\leqslant X\leqslant\sqrt{z})=\int_{0}^{\sqrt{z}}1dx=\sqrt{z}$；
• 当$z\geqslant1$时，$F_Z(z)=1$。
• 对$F_Z(z)$求导得$Z$的概率密度函数$f_Z(z)=\begin{cases}\frac{1}{2\sqrt{z}}, & 0<z<1 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$，不服从均匀分布。

选项D

设$Z = X - Y$，使用卷积公式$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(x - z)dx$。

• 已知$f_X(x)=\begin{cases}1, & 0<x<1 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$，$f_Y(y)=\begin{cases}1, & 0<y<1 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$，则$f_Y(x - z)=\begin{cases}1, & 0<x - z<1 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$。
• 当$z\leqslant - 1$时，$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}0dx = 0$；
• 当$-1<z<0$时，$f_Z(z)=\int_{0}^{z + 1}1dx=z + 1$；
• 当$0\leqslant z<1$时，$f_Z(z)=\int_{z}^{1}1dx=1 - z$；
• 当$z\geqslant1$时，$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}0dx = 0$。
• 所以$Z = X - Y$的概率密度函数为$f_Z(z)=\begin{cases}z + 1, & -1<z<0 \\ 1 - z, & 0\leqslant z<1 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$，不服从均匀分布。