题目
已知函数 P=P(x,y), Q=Q(x,y) 在单连通区域 D 上具有一阶连续偏导数，而 L subset D 为光滑曲线，则曲线积分 int_(L) Qdx - Pdy 与积分路径 L 无关的充要条件为____。A. (partial Q)/(partial x) + (partial P)/(partial y) = 0B. (partial Q)/(partial y) + (partial P)/(partial x) = 0C. (partial Q)/(partial x) - (partial P)/(partial y) = 0D. (partial Q)/(partial y) - (partial P)/(partial x) = 0
已知函数 $P=P(x,y)$, $Q=Q(x,y)$ 在单连通区域 $D$ 上具有一阶连续偏导数，而 $L \subset D$ 为光滑曲线，则曲线积分 $\int_{L} Qdx - Pdy$ 与积分路径 $L$ 无关的充要条件为____。
A. $\frac{\partial Q}{\partial x} + \frac{\partial P}{\partial y} = 0$
B. $\frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial P}{\partial x} = 0$
C. $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$
D. $\frac{\partial Q}{\partial y} - \frac{\partial P}{\partial x} = 0$
题目解答
答案
B. $\frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial P}{\partial x} = 0$
解析
步骤 1：应用格林定理
格林定理指出，对于一个单连通区域 $D$，如果函数 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 具有一阶连续偏导数，那么曲线积分 $\int_{L} P \, dx + Q \, dy$ 与积分路径 $L$ 无关的充要条件是 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$。
步骤 2：重写曲线积分
在给定的题目中，曲线积分是 $\int_{L} Q \, dx - P \, dy$。我们可以将这个积分重写为 $\int_{L} (-P) \, dy + Q \, dx$。现在，我们可以应用格林定理，其中 $P(x, y) = -P$ 和 $Q(x, y) = Q$。
步骤 3：应用格林定理
根据格林定理，曲线积分 $\int_{L} (-P) \, dy + Q \, dx$ 与积分路径 $L$ 无关的充要条件是 $\frac{\partial Q}{\partial y} - \frac{\partial (-P)}{\partial x} = 0$。简化这个表达式，我们得到 $\frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial P}{\partial x} = 0$。
格林定理指出，对于一个单连通区域 $D$，如果函数 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 具有一阶连续偏导数，那么曲线积分 $\int_{L} P \, dx + Q \, dy$ 与积分路径 $L$ 无关的充要条件是 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$。
步骤 2：重写曲线积分
在给定的题目中，曲线积分是 $\int_{L} Q \, dx - P \, dy$。我们可以将这个积分重写为 $\int_{L} (-P) \, dy + Q \, dx$。现在，我们可以应用格林定理，其中 $P(x, y) = -P$ 和 $Q(x, y) = Q$。
步骤 3：应用格林定理
根据格林定理，曲线积分 $\int_{L} (-P) \, dy + Q \, dx$ 与积分路径 $L$ 无关的充要条件是 $\frac{\partial Q}{\partial y} - \frac{\partial (-P)}{\partial x} = 0$。简化这个表达式，我们得到 $\frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial P}{\partial x} = 0$。