“-2＜m＜2”是“x2-mx+1＞0在x∈（1，+∞）上恒成立”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

考查要点：本题主要考查二次不等式在特定区间上的恒成立问题，以及条件关系的判断（充分条件、必要条件）。

解题核心思路：

1. 转化不等式：将二次不等式$x^2 - mx + 1 > 0$转化为关于$m$的表达式，找到$m$的范围。
2. 分析函数极值：通过分析函数$f(x) = x + \frac{1}{x}$在$x > 1$时的最小值，确定$m$的临界值。
3. 条件关系判断：比较题目给定的条件$-2 < m < 2$与实际求得的$m$的范围，判断两者之间的逻辑关系。

破题关键点：

• 分离变量：将不等式整理为$m < x + \frac{1}{x}$，从而将问题转化为求函数的最小值。
• 函数单调性：利用导数或基本不等式分析$x + \frac{1}{x}$在$x > 1$时的单调性，确定其最小值。
• 范围包含关系：通过比较$-2 < m < 2$与实际解集$m \leq 2$，判断条件的充分性与必要性。

步骤1：转化不等式
原不等式$x^2 - mx + 1 > 0$在$x > 1$时恒成立，可变形为：
$m < x + \frac{1}{x} \quad (\text{对所有} x > 1 \text{成立}).$

步骤2：分析函数$f(x) = x + \frac{1}{x}$

• 当$x > 1$时，函数$f(x)$的导数为$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} > 0$，说明$f(x)$在$x > 1$时单调递增。
• 因此，$f(x)$在$x > 1$时的最小值为$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2$，且$f(x) > 2$。

步骤3：确定$m$的范围
要使$m < x + \frac{1}{x}$对所有$x > 1$成立，需满足：
$m \leq 2.$

步骤4：判断条件关系

• 题目给定的条件$-2 < m < 2$是$m \leq 2$的充分但不必要条件：
  • 充分性：若$-2 < m < 2$，则必然满足$m \leq 2$，从而原不等式恒成立。
  • 不必要性：存在$m = 2$的情况满足原不等式，但$m = 2$不在$-2 < m < 2$范围内。