齐次线性方程组x1+kx2+x3=02x1+x2+x3=0kx2+3x3=0只有零解，则k应满足的条件是 ___ ．

考查要点：本题主要考查齐次线性方程组解的判定条件，即系数矩阵的行列式是否为零。

解题核心思路：齐次线性方程组只有零解的充要条件是其系数矩阵的行列式不等于零。因此，需要计算系数矩阵的行列式，并令其不等于零，从而解出参数$k$的取值范围。

破题关键点：

1. 正确写出方程组的系数矩阵；
2. 准确计算三阶行列式的值；
3. 解关于$k$的不等式。

齐次线性方程组的系数矩阵为：
$\begin{pmatrix}1 & k & 1 \\2 & 1 & 1 \\0 & k & 3\end{pmatrix}$

计算行列式：
$\begin{aligned}\begin{vmatrix}1 & k & 1 \\2 & 1 & 1 \\0 & k & 3\end{vmatrix} &= 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & 1 \\ k & 3\end{vmatrix} - k \cdot \begin{vmatrix}2 & 1 \\ 0 & 3\end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}2 & 1 \\ 0 & k\end{vmatrix} \\ &= 1 \cdot (1 \cdot 3 - 1 \cdot k) - k \cdot (2 \cdot 3 - 1 \cdot 0) + 1 \cdot (2 \cdot k - 1 \cdot 0) \\ &= (3 - k) - 6k + 2k \\ &= 3 - 5k \end{aligned}$

令行列式不等于零：
$3 - 5k \neq 0 \quad \Rightarrow \quad k \neq \frac{3}{5}$