1.int(x^5)/(sqrt[3](1+x^3) )dx=____

本题考查不定积分的计算，解题思路是通过换元法将被积函数化简，然后再进行积分运算。

1. 换元：
   令$t = 1 + x^3$，对$t$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得$dt = 3x^2dx$，进一步变形得到$x^2dx=\frac{1}{3}dt$。
   同时，由$t = 1 + x^3$可得$x^3=t - 1$。
   原积分$\int\frac{x^{5}}{\sqrt[3]{1+x^{3}} }dx$可变形为$\int\frac{x^3\cdot x^2}{\sqrt[3]{1 + x^3}}dx$，将$t = 1 + x^3$，$x^3=t - 1$，$x^2dx=\frac{1}{3}dt$代入可得：
   $\int\frac{x^3\cdot x^2}{\sqrt[3]{1 + x^3}}dx=\frac{1}{3}\int\frac{t - 1}{t^{\frac{1}{3}}}dt$
2. 化简被积函数：
   对$\frac{t - 1}{t^{\frac{1}{3}}}$进行化简，根据分式运算法则$\frac{a-b}{c}=\frac{a}{c}-\frac{b}{c}$可得：
   $\frac{t - 1}{t^{\frac{1}{3}}}=\frac{t}{t^{\frac{1}{3}}}-\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}$
   根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m\div a^n=a^{m - n}$，可得$\frac{t}{t^{\frac{1}{3}}}=t^{1-\frac{1}{3}}=t^{\frac{2}{3}}$，$\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}=t^{-\frac{1}{3}}$。
   所以$\frac{t - 1}{t^{\frac{1}{3}}}=t^{\frac{2}{3}}-t^{-\frac{1}{3}}$，则$\frac{1}{3}\int\frac{t - 1}{t^{\frac{1}{3}}}dt=\frac{1}{3}\int(t^{\frac{2}{3}}-t^{-\frac{1}{3}})dt$
3. 分别积分：
   根据不定积分的加法法则$\int(f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx$，可得：
   $\frac{1}{3}\int(t^{\frac{2}{3}}-t^{-\frac{1}{3}})dt=\frac{1}{3}(\int t^{\frac{2}{3}}dt-\int t^{-\frac{1}{3}}dt)$
   再根据幂函数的积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq -1)$，分别对$\int t^{\frac{2}{3}}dt$和$\int t^{-\frac{1}{3}}dt$进行积分：
   $\int t^{\frac{2}{3}}dt=\frac{1}{\frac{2}{3}+1}t^{\frac{2}{3}+1}+C_1=\frac{3}{5}t^{\frac{5}{3}}+C_1$
   $\int t^{-\frac{1}{3}}dt=\frac{1}{-\frac{1}{3}+1}t^{-\frac{1}{3}+1}+C_2=\frac{3}{2}t^{\frac{2}{3}}+C_2$
   则$\frac{1}{3}(\int t^{\frac{2}{3}}dt-\int t^{-\frac{1}{3}}dt)=\frac{1}{3}(\frac{3}{5}t^{\frac{5}{3}}-\frac{3}{2}t^{\frac{2}{3}})+C$（$C = \frac{1}{3}(C_1 - C_2)$）
   化简可得$\frac{1}{5}t^{\frac{5}{3}}-\frac{1}{2}t^{\frac{2}{3}}+C$
4. 回代：
   将$t = 1 + x^3$代回上式，得到$\frac{1}{5}(1 + x^3)^{\frac{5}{3}}-\frac{1}{2}(1 + x^3)^{\frac{2}{3}}+C$