题目
一、单选题 (共8道小题,共40分)-|||-1. 设随机变量 approx N(1,4) ,则概率 -1lt xlt 3 = ()()-|||-(分数:5分)-|||-bigcirc (1)-1-|||-bigcirc https:/img.zuoyebang.cc/zyb_fb50f077c23ccac877d4fb7a8d4f541d.jpg-2(1)-|||-B-|||-)(1)-1-|||--2(1)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量的分布参数
随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(1,4)$，其中均值 $\mu = 1$，方差 $\sigma^2 = 4$，因此标准差 $\sigma = 2$。
步骤 2：将概率问题转化为标准正态分布问题
我们需要计算 $P\{-1 < X < 3\}$。首先，将 $X$ 的值标准化，即转换为标准正态分布 $Z$ 的值。标准化公式为 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
- 当 $X = -1$ 时，$Z = \frac{-1 - 1}{2} = -1$。
- 当 $X = 3$ 时，$Z = \frac{3 - 1}{2} = 1$。
因此，$P\{-1 < X < 3\} = P\{-1 < Z < 1\}$。
步骤 3：利用标准正态分布表计算概率
$P\{-1 < Z < 1\} = P(Z < 1) - P(Z < -1)$。
根据标准正态分布表，$P(Z < 1) = \Phi(1)$，$P(Z < -1) = \Phi(-1) = 1 - \Phi(1)$。
因此，$P\{-1 < Z < 1\} = \Phi(1) - (1 - \Phi(1)) = 2\Phi(1) - 1$。
随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(1,4)$，其中均值 $\mu = 1$，方差 $\sigma^2 = 4$，因此标准差 $\sigma = 2$。
步骤 2：将概率问题转化为标准正态分布问题
我们需要计算 $P\{-1 < X < 3\}$。首先，将 $X$ 的值标准化，即转换为标准正态分布 $Z$ 的值。标准化公式为 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
- 当 $X = -1$ 时，$Z = \frac{-1 - 1}{2} = -1$。
- 当 $X = 3$ 时，$Z = \frac{3 - 1}{2} = 1$。
因此，$P\{-1 < X < 3\} = P\{-1 < Z < 1\}$。
步骤 3：利用标准正态分布表计算概率
$P\{-1 < Z < 1\} = P(Z < 1) - P(Z < -1)$。
根据标准正态分布表，$P(Z < 1) = \Phi(1)$，$P(Z < -1) = \Phi(-1) = 1 - \Phi(1)$。
因此，$P\{-1 < Z < 1\} = \Phi(1) - (1 - \Phi(1)) = 2\Phi(1) - 1$。