题目
如图所示 9.某工厂要做一个体积为8m^3的无盖长方体容器,已知底面材料的单位造价是侧面材料单价-|||-的2倍,问怎样设计才能使该长方体容器的造价最低?-|||-一1、
如图所示
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义变量
设长方体容器的长为 \(x\) 米，宽为 \(y\) 米，高为 \(z\) 米，侧面材料单价为 \(a\) 元/平方米。则底面材料单价为 \(2a\) 元/平方米。
步骤 2：建立体积关系
根据题意，长方体容器的体积为 \(8\) 立方米，即 \(xyz = 8\)。
步骤 3：建立造价函数
容器的造价由底面和侧面的造价组成。底面的面积为 \(xy\)，造价为 \(2axy\)。侧面的面积为 \(2xz + 2yz\)，造价为 \(a(2xz + 2yz)\)。因此，总造价为 \(2axy + a(2xz + 2yz) = 2a(xy + xz + yz)\)。
步骤 4：应用不等式求最小值
根据算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式），有 \(xy + xz + yz \geq 3\sqrt[3]{xy \cdot xz \cdot yz} = 3\sqrt[3]{(xyz)^2} = 3\sqrt[3]{8^2} = 3\sqrt[3]{64} = 12\)。当且仅当 \(xy = xz = yz\) 时，等号成立。由于 \(xyz = 8\)，当 \(x = y = z\) 时，等号成立，即 \(x = y = z = 2\) 米时，造价最低。
步骤 5：计算最低造价
将 \(x = y = z = 2\) 代入造价函数，得到最低造价为 \(2a(xy + xz + yz) = 2a(2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2) = 2a \cdot 12 = 24a\) 元。
设长方体容器的长为 \(x\) 米，宽为 \(y\) 米，高为 \(z\) 米，侧面材料单价为 \(a\) 元/平方米。则底面材料单价为 \(2a\) 元/平方米。
步骤 2：建立体积关系
根据题意，长方体容器的体积为 \(8\) 立方米，即 \(xyz = 8\)。
步骤 3：建立造价函数
容器的造价由底面和侧面的造价组成。底面的面积为 \(xy\)，造价为 \(2axy\)。侧面的面积为 \(2xz + 2yz\)，造价为 \(a(2xz + 2yz)\)。因此，总造价为 \(2axy + a(2xz + 2yz) = 2a(xy + xz + yz)\)。
步骤 4：应用不等式求最小值
根据算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式），有 \(xy + xz + yz \geq 3\sqrt[3]{xy \cdot xz \cdot yz} = 3\sqrt[3]{(xyz)^2} = 3\sqrt[3]{8^2} = 3\sqrt[3]{64} = 12\)。当且仅当 \(xy = xz = yz\) 时，等号成立。由于 \(xyz = 8\)，当 \(x = y = z\) 时，等号成立，即 \(x = y = z = 2\) 米时，造价最低。
步骤 5：计算最低造价
将 \(x = y = z = 2\) 代入造价函数，得到最低造价为 \(2a(xy + xz + yz) = 2a(2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2) = 2a \cdot 12 = 24a\) 元。