如图所示 9.某工厂要做一个体积为8m^3的无盖长方体容器,已知底面材料的单位造价是侧面材料单价-|||-的2倍,问怎样设计才能使该长方体容器的造价最低?-|||-一1、

本题考查利用导数求函数的最值来解决实际的优化问题。解题思路是先设出长方体容器的长、宽、高以及侧面材料的单位造价，然后根据已知条件表示出容器的造价函数，再结合体积条件进行化简，最后通过求导来确定造价函数的最小值点。

设长方体容器底面的长为$x m$，宽为$y m$，高为$z m$，侧面材料的单位造价为$a$元$/m^{2}$，则底面材料的单位造价为$2a$元$/m^{2}$。

1. 根据体积公式得到$x,y,z$的关系：
   已知长方体容器的体积为$8m^{3}$，根据长方体体积公式$V = xyz$，可得$xyz = 8$，则$z=\frac{8}{xy}$。
2. 写出造价函数$C(x,y)$：
   该容器无盖，所以其造价$C$为底面造价与侧面造价之和。底面面积为$xy$，侧面面积为$2xz + 2yz$，则造价函数为：
   $C = 2a\cdot xy + a\cdot(2xz + 2yz)=2axy + 2axz + 2ayz$
   将$z=\frac{8}{xy}$代入上式可得：
   $C(x,y)=2axy + 2ax\cdot\frac{8}{xy}+2ay\cdot\frac{8}{xy}=2axy+\frac{16a}{y}+\frac{16a}{x}(x\gt0,y\gt0)$
3. 求$C(x,y)$的偏导数：
   对$C(x,y)$分别求关于$x$和$y$的偏导数：
   $C_{x}=\frac{\partial C}{\partial x}=2ay-\frac{16a}{x^{2}}$
   $C_{y}=\frac{\partial C}{\partial y}=2ax-\frac{16a}{y^{2}}$
4. 求驻点：
   令$\begin{cases}C_{x}=0\\C_{y}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}2ay-\frac{16a}{x^{2}} = 0\\2ax-\frac{16a}{y^{2}} = 0\end{cases}$，因为$a\neq0$，所以可化简为$\begin{cases}2ay=\frac{16a}{x^{2}}\\2ax=\frac{16a}{y^{2}}\end{cases}$，进一步得到$\begin{cases}y=\frac{8}{x^{2}}\\x=\frac{8}{y^{2}}\end{cases}$。
   将$y=\frac{8}{x^{2}}$代入$x=\frac{8}{y^{2}}$可得：
   $x=\frac{8}{(\frac{8}{x^{2}})^{2}}=\frac{x^{4}}{8}$
   因为$x\gt0$，两边同时除以$x$得$x^{3}=8$，解得$x = 2$。
   将$x = 2$代入$y=\frac{8}{x^{2}}$，可得$y=\frac{8}{2^{2}} = 2$。
5. 求$z$的值：
   将$x = 2$，$y = 2$代入$z=\frac{8}{xy}$，可得$z=\frac{8}{2\times2}=2$。
6. 判断驻点是否为最小值点：
   根据实际问题可知，造价$C$一定存在最小值，而函数$C(x,y)$在定义域内只有一个驻点$(2,2)$，所以当$x = 2$，$y = 2$，$z = 2$时，造价$C$取得最小值。