题目
曲线 x = t, y = t^2, z = t^3 在点 (1,1,1) 处的切线方程为（）A. (x-1)/(1) = (y-1)/(2) = (z-1)/(3)B. (x-1)/(1) = (y-1)/(-2) = (z-1)/(3)C. (x-1)/(1) = (y-1)/(2) = (z-1)/(-3)D. (x-1)/(1) = (y-1)/(-2) = (z-1)/(-3)
曲线 $x = t, y = t^2, z = t^3$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切线方程为（）
A. $\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{3}$
B. $\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{3}$
C. $\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{-3}$
D. $\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{-3}$
题目解答
答案
A. $\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{3}$
解析
步骤 1：确定参数值
曲线的参数方程为 $x = t$, $y = t^2$, $z = t^3$。在点 $(1, 1, 1)$ 处，对应 $t = 1$。
步骤 2：求导得到切向量
对参数方程求导，得到切向量的分量： \[ \frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = 2t, \quad \frac{dz}{dt} = 3t^2 \] 代入 $t = 1$ 得切向量 $(1, 2, 3)$。
步骤 3：写出切线方程
切线方程为： \[ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{3} \] 对应选项 **A**。
曲线的参数方程为 $x = t$, $y = t^2$, $z = t^3$。在点 $(1, 1, 1)$ 处，对应 $t = 1$。
步骤 2：求导得到切向量
对参数方程求导，得到切向量的分量： \[ \frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = 2t, \quad \frac{dz}{dt} = 3t^2 \] 代入 $t = 1$ 得切向量 $(1, 2, 3)$。
步骤 3：写出切线方程
切线方程为： \[ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{3} \] 对应选项 **A**。