【单选题】若 f (z)= u (x,y)+i v (x,y)在Z平面上解析, u (x,y)=x 2 -y 2 +x,则 v (x,y)=A. xy+xB. 2x+2yC. 2xy+yD. x+y

考查要点：本题主要考查复变函数中解析函数的柯西-黎曼方程的应用，以及如何通过已知实部求虚部。

解题核心思路：

1. 利用柯西-黎曼方程：若函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$解析，则必须满足$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$和$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$。
2. 分步求解偏微分方程：通过已知的$u(x,y)$，先求偏导数，再代入柯西-黎曼方程，逐步积分求出$v(x,y)$。

破题关键点：

• 正确计算偏导数：对$u(x,y)=x^2 - y^2 + x$求$\frac{\partial u}{\partial x}$和$\frac{\partial u}{\partial y}$。
• 积分求解$v(x,y)$：通过柯西-黎曼方程建立关于$v$的偏微分方程，分步积分并确定积分常数。

步骤1：计算$u(x,y)$的偏导数
已知$u(x,y) = x^2 - y^2 + x$，则：
$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x + 1, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -2y.$

步骤2：代入柯西-黎曼方程
根据$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$，得：
$\frac{\partial v}{\partial y} = 2x + 1. \tag{1}$
根据$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$，得：
$\frac{\partial v}{\partial x} = 2y. \tag{2}$

步骤3：对式(1)积分求$v(x,y)$
对$y$积分：
$v(x,y) = \int (2x + 1) \, dy + C(x) = (2x + 1)y + C(x),$
其中$C(x)$为积分常数（可能含$x$）。

步骤4：代入式(2)求$C(x)$
对$v(x,y)$求$\frac{\partial v}{\partial x}$：
$\frac{\partial v}{\partial x} = 2y + C'(x).$
根据式(2) $\frac{\partial v}{\partial x} = 2y$，得：
$2y + C'(x) = 2y \implies C'(x) = 0 \implies C(x) = C \quad (\text{常数}).$

步骤5：确定最终解
因此，$v(x,y) = (2x + 1)y + C$。由于题目未给出初始条件，通常取$C=0$，故：
$v(x,y) = 2xy + y.$