【单选题】若 f (z)= u (x,y)+i v (x,y)在Z平面上解析, u (x,y)=x 2 -y 2 +x,则 v (x,y)=A. xy+xB. 2x+2yC. 2xy+yD. x+y

步骤 1：确定解析函数的条件
解析函数 f(z) = u(x,y) + i v(x,y) 满足柯西-黎曼方程，即：
∂u/∂x = ∂v/∂y 和 ∂u/∂y = -∂v/∂x
步骤 2：计算偏导数
给定 u(x,y) = x^2 - y^2 + x，计算其偏导数：
∂u/∂x = 2x + 1
∂u/∂y = -2y
步骤 3：应用柯西-黎曼方程
根据柯西-黎曼方程，有：
∂v/∂y = 2x + 1
-∂v/∂x = -2y
步骤 4：求解 v(x,y)
对 ∂v/∂y = 2x + 1 积分，得到：
v(x,y) = 2xy + y + C(x)
其中 C(x) 是关于 x 的任意函数。
对 -∂v/∂x = -2y 积分，得到：
v(x,y) = 2xy + C(y)
其中 C(y) 是关于 y 的任意函数。
由于 v(x,y) 必须同时满足上述两个积分结果，因此 C(x) 和 C(y) 必须是常数，不妨设为 0。