题目
10.判断题若矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式.（）A. 对B. 错
10.判断题
若矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式.（）
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
本题考查矩阵相似的性质以及特征多项式的的计算。解题思路是根据矩阵相似的定义，推导出相似矩阵的特征多项式形式，进而得出它们的特征多项式相同。
- 首先明确矩阵相似的定义：
- 若矩阵$A$与$B$相似，则存在可逆矩阵$P$，使得$B = P^{-1}AP$。
- 然后计算矩阵$B$的特征多项式：
- 矩阵$B$的特征多项式为$f_B(\lambda)=\vert\lambda E - B\vert$。
- 将$B = P^{-1}AP$代入上式中，可得$f_B(\lambda)=\vert\lambda E - P^{-1}AP\vert$。
- 因为$\lambda E - P^{-1}AP=\lambda P^{-1}P - P^{-1}AP = P^{-1}(\lambda E - A)P$，所以$f_B(\lambda)=\vert P^{-1}(\lambda E - A)P\vert$。
- 根据行列式具有性质$\vert ABC\vert=\vert A\vert\vert B\vert\vert C\vert$，则$\vert P^{-1}(\lambda E - A)P\vert=\vert P^{-1}\vert\vert\lambda E - A\vert\vert P\vert$。
- 又因为$\vert P^{-1}\vert\vert P\vert = 1$，所以$\vert P^{-1}\vert\vert\lambda E - A\vert\vert P\vert=\vert\lambda E - A\vert$。
- 而$\vert\lambda E - A\vert$正是矩阵$A$的特征多项式$f_A(\lambda)\lambda)，即\(f_B(\lambda)=f_A(\lambda)$。
- 这就说明若矩阵$A$与$B$相似，则$A$与$B$有相同的特征多项式。