求极限lim _(narrow infty )[ dfrac (1)(1times 3)+dfrac (1)(3times 5)+... +dfrac (1)((2n-1)(2n+1))]

考查要点：本题主要考查分式求和的裂项相消法（望远镜求和）以及数列极限的计算。

解题核心思路：
将每一项 $\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ 拆分为两个分数的差，使得求和时中间项相互抵消，仅剩首项和末项，从而简化求和过程。

破题关键点：

1. 部分分式分解：将 $\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ 分解为 $\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1} \right)$。
2. 观察抵消规律：展开求和后，中间项逐项抵消，仅剩首项 $1$ 和末项 $-\dfrac{1}{2n+1}$。
3. 取极限：当 $n \to \infty$ 时，末项趋近于 $0$，最终结果为 $\dfrac{1}{2}$。

步骤1：部分分式分解
对通项 $\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ 进行分解：
$\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1} \right)$

步骤2：展开求和式
原式可展开为：
$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} &= \dfrac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1} \right) \\&= \dfrac{1}{2} \left[ \left( \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3} \right) + \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \dfrac{1}{2n-1} - \dfrac{1}{2n+1} \right) \right]\end{aligned}$

步骤3：抵消中间项
展开后，中间项 $-\dfrac{1}{3}$、$+\dfrac{1}{3}$，$-\dfrac{1}{5}$、$+\dfrac{1}{5}$ 等全部抵消，仅剩：
$\dfrac{1}{2} \left( 1 - \dfrac{1}{2n+1} \right)$

步骤4：取极限
当 $n \to \infty$ 时，$\dfrac{1}{2n+1} \to 0$，因此：
$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{2} \left( 1 - \dfrac{1}{2n+1} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot 1 = \dfrac{1}{2}$