3.单选题函数f(x)=ln(1+x)在下列（）区间上有界.A. (-1,0)B. (0,+∞)C. (-1,0]D. (2,3)

考查要点：本题主要考查函数有界性的判断，需要结合自然对数函数$ln(1+x)$的定义域及其在不同区间内的增长趋势进行分析。

解题核心思路：

1. 明确有界函数的定义：存在实数$M$，使得对定义域内所有$x$，有$|f(x)| \leq M$。
2. 分析各选项区间端点对函数的影响：
   • 当$x$接近$-1$时，$1+x \to 0^+$，$ln(1+x) \to -\infty$，此时函数无界。
   • 当$x \to +\infty$时，$ln(1+x) \to +\infty$，函数无界。
3. 筛选有限区间：只有选项D的区间$(2,3)$完全远离$x=-1$且有界，此时$ln(1+x)$的值被限制在有限范围内。

选项分析

A. (-1,0)

• 关键点：区间左端点$x \to -1^+$时，$1+x \to 0^+$，导致$ln(1+x) \to -\infty$。
• 结论：函数在该区间无界。

B. (0,+∞)

• 关键点：当$x \to +\infty$时，$ln(1+x) \to +\infty$。
• 结论：函数在该区间无界。

C. (-1,0]

• 关键点：虽然包含$x=0$（此时$ln(1+0)=0$），但左端点$x \to -1^+$时仍导致$ln(1+x) \to -\infty$。
• 结论：函数在该区间无界。

D. (2,3)

• 关键点：
  • $x \in (2,3)$时，$1+x \in (3,4)$，故$ln(3) < ln(1+x) < ln(4)$。
  • $ln(3) \approx 1.0986$，$ln(4) \approx 1.3863$，函数值被严格限制在有限区间内。
• 结论：函数在该区间有界。