【题目】-|||-f(x)= { ,xneq 0 0,x=0 .-|||-讨论(1)-|||-f(x)-|||-在-|||-x=0-|||-处的连续性和可导性;-|||-(2)导函数-|||-f`(x)-|||-在-|||-x=0-|||-处的连续性。

题目考察知识

本题主要考察函数的连续性、可导性及导函数的连续性，涉及分段函数在分段点的的极限计算、导数定义及导数极限定理等知识点。

（1）$f(x)$在$x=0$处的连续性和可导性的讨论

连续性判断

函数在某点连续的充要条件是：$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$。

• 当$x \neq 0$时，\(f已隐藏，开通VIP查看** - 由夹逼准则：$\lim_{x \ 0} x^2 \sin\frac{1}{x} = 0$，且$f(0)=0$，故$\lim_{x \ 0} f(x) = f(0)$，$f(x)$在$x=0$处连续。

可导性判断**

函数在某点可导的充要条件是：导数定义极限存在，即$f'(0) = \lim_{x \ 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$存在。

• 计算极限：$\frac{f(x) - f(0)}{x} = \frac{x^2 \sin\frac{1x} - 0}{x} = x \sin\frac{1x}$。
• 由夹逼准则：$\lim_{x 0} x \sin\frac{1x} = 0$（因$|\sin\frac{1x}| \leq 1$，$x \ 0$时$x \to 0$），故$f'(0)=0$，$f(x)$在$x=0$处可导。

（2）导函数$f'(x)$在$x=0$处的连续性

导函数表达式

• 当$x \neq 0$时，用乘积法则求导：$f'(x) = (x^2 \sin\frac{1x})' = 2x \sin\frac{1x} + x/$，内容隐藏，开通VIP查看**
• 当$x=0$时，导数$f'(0)=0$（已证）。

连续性判断

导函数在$x=0$连续的充要条件是：$\lim_{x 0} f'(x) = f'(0)$。

• 分析$\lim_{x 0} f'(x)$ = \lim_{x 0} \left(2x \sin\frac{1x} - \cos\frac{1x}\right·\right))：
  • $2x \sin\frac{1x} \to 0$（夹逼准则），但$\cos\frac{1x}$在$x \to 0$时极限不存在（$\frac{1x} \to \infty\infty$，$\cos$值在$[-1,1]$震荡），故$\lim_{x 0} f'(x)$不存在。
• 因此，$f'(x)$在$x=0$处不连续。