【例3.12】(2025，数三)设矩阵A=}1&-1&3&0&-1-1&0&-2&-a&-11&1&a&2&3的秩为2。(1)求a的值。(2)求A的列向量组的一个极大线性无关组α，β，并求矩阵H，使得A=GH，其中G=(α，β)

(1) 对矩阵 $ A $ 进行行变换，得 \[ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & a & 2 \\ 0 & 0 & a-1 & 2-2a & 0 \end{bmatrix} \] 由秩为 2，第三行全为零，解得 $ a = 1 $。 **答案：** $ a = 1 $ (2) 代入 $ a = 1 $，化简得 \[ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \] 极大线性无关组为第一列和第二列，即 \[ \alpha = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \beta = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \] 矩阵 $ H $ 为 \[ H = \boxed{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 2 \end{bmatrix} } \]