1.证明下列各式：(1)2x-x²=O(x)(x→0); (2)xsin√x=O(x^(3)/(2));(3)sqrt(1+x)-1=o(1)(x→0);(4)(1+x)^n=1+nx+o(x)(x→0)(n为正整数);

本题主要考查大O符号（$O$）和小o符号（$o$）的定义及应用。大O符号用于描述函数在某一过程中的上界，小o符号用于描述函数在某一过程中的高阶无穷小。解题的关键在于根据相应的定义，通过求极限来判断函数之间的关系。

(1) 证明 $2x - x^2 = O(x)(x \to 0)$

根据大O符号的定义，若存在正常数 $C$ 和 $x_0$，使得当 $|x| < x_0$ 时，有 $|f(x)| \leq C|g(x)|$，则称 $f(x) = O(g(x))$。也可以通过求极限 $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$ 来判断，若该极限存在且为有限值，则 $f(x) = O(g(x))$。
计算极限：
$\begin{align*}\lim_{x \to 0} \frac{2x - x^2}{x} &= \lim_{x \to 0} \frac{x(2 - x)}{x}\\&= \lim_{x \to 0} (2 - x)\\&= 2\end{align*}$
因为极限值为有限值 $2$，所以 $2x - x^2 = O(x)(x \to 0)$。

(2) 证明 $x\sin\sqrt{x} = O(x^{\frac{3}{2}})$

同样根据大O符号的定义，求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{x\sin\sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}}}$。
令 $y = \sqrt{x}$，当 $x \to 0$ 时，$y \to 0$，则：
$\begin{align*}\lim_{x \to 0} \frac{x\sin\sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}}} &= \lim_{y \to 0} \frac{y^2\sin y}{y^3}\\&= \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y}\\&= 1\end{align*}$
因为极限值为有限值 $1$，所以 $x\sin\sqrt{x} = O(x^{\frac{3}{2}})$。

(3) 证明 $\sqrt{1 + x} - 1 = o(1)(x \to 0)$

根据小o符号的定义，若 $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$，则称 $f(x) = o(g(x))$。这里 $g(x) = 1$，计算极限：
$\begin{align*}\lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + x} - 1) &= \sqrt{1 + 0} - 1\\&= 0\end{align*}$
因为极限值为 $0$，所以 $\sqrt{1 + x} - 1 = o(1)(x \to 0)$。

(4) 证明 $(1 + x)^n = 1 + nx + o(x)(x \to 0)(n$ 为正整数$)$

方法一：利用泰勒展开式
根据二项式定理的泰勒展开式，$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n - 1)}{2!}x^2 + \cdots + x^n$。
当 $x \to 0$ 时，$\frac{n(n - 1)}{2!}x^2 + \cdots + x^n$ 是比 $x$ 高阶的无穷小，即 $\frac{n(n - 1)}{2!}x^2 + \cdots + x^n = o(x)$，所以 $(1 + x)^n = 1 + nx + o(x)(x \to 0)$。

方法二：求极限
计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^n - (1 + nx)}{x}$。
根据二项式定理展开 $(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n - 1)}{2!}x^2 + \cdots + x^n$，则：
$\begin{align*}\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^n - (1 + nx)}{x} &= \lim_{x \to 0} \frac{1 + nx + \frac{n(n - 1)}{2!}x^2 + \cdots + x^n - (1 + nx)}{x}\\&= \lim_{x \to 0} (\frac{n(n - 1)}{2!}x + \cdots + x^{n - 1})\\&= 0\end{align*}$
因为极限值为 $0$，所以 $(1 + x)^n = 1 + nx + o(x)(x \to 0)$。