题目

向量组 α1 ， α2 ， … ， αs 线性无关的充分必要条件是 () A. α1 ， α2 ， … ， αs 均不为零向量 B. α1 ， α2 ， … ， αs 中任意两个向量的分量成比例 C. α1 ， α2 ， … ， αs 中任意一个向量均不能由其余 s−1 个向量线性表示 D. α1 ， α2 ， … ， αs 中一部分向量线性无关

向量组 α1 ， α2 ， … ， αs 线性无关的充分必要条件是 ()

A. α1 ， α2 ， … ， αs 均不为零向量
B. α1 ， α2 ， … ， αs 中任意两个向量的分量成比例
C. α1 ， α2 ， … ， αs 中任意一个向量均不能由其余 s−1 个向量线性表示
D. α1 ， α2 ， … ， αs 中一部分向量线性无关

题目解答

答案

设 α=⎛⎝⎜100⎞⎠⎟ ， β=⎛⎝⎜010⎞⎠⎟ ， γ=⎛⎝⎜110⎞⎠⎟ ，

易知 γ=α+β ，

所以， α ， β ， γ 线性相关。

α ， β ， γ 均不为零，但 α ， β ， γ 线性相关。所以，选项 A 错误。

α ， β 线性无关， α ， β ， γ 线性相关。所以，选项 D 错误。

α1 ， α2 ， … ， αs 中任意两个向量的分量成比例，则这两个向量线性相关，所以， α1 ， α2 ， … ， αs 线性相关，故选项 B 错误。

α1 ， α2 ， … ， αs 中任意一个向量均不能由其余 s−1 个向量线性表示 ⇔k1α1+k2α2+…+ksαs=0 ， k1 ， k2 ， …ks 只有零解 ⇔ 向量组 α1 ， α2 ， … ， αs 线性无关。故选项 C 正确。

故选：C.

解析

步骤 1：分析选项 A
向量组 α1 ， α2 ， … ， αs 均不为零向量，这并不能保证它们线性无关。例如，考虑向量组 α1 = (1, 0, 0)， α2 = (2, 0, 0)， α3 = (3, 0, 0)，它们均不为零向量，但显然线性相关，因为 α2 = 2α1， α3 = 3α1。因此，选项 A 不正确。

步骤 2：分析选项 B
向量组 α1 ， α2 ， … ， αs 中任意两个向量的分量成比例，这同样不能保证它们线性无关。例如，考虑向量组 α1 = (1, 1, 1)， α2 = (2, 2, 2)， α3 = (3, 3, 3)，它们的分量成比例，但显然线性相关，因为 α2 = 2α1， α3 = 3α1。因此，选项 B 不正确。

步骤 3：分析选项 C
向量组 α1 ， α2 ， … ， αs 中任意一个向量均不能由其余 s−1 个向量线性表示，这是向量组线性无关的定义。如果向量组线性无关，那么其中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。反之，如果向量组中任意一个向量均不能由其余 s−1 个向量线性表示，那么向量组线性无关。因此，选项 C 正确。

步骤 4：分析选项 D
向量组 α1 ， α2 ， … ， αs 中一部分向量线性无关，这并不能保证整个向量组线性无关。例如，考虑向量组 α1 = (1, 0, 0)， α2 = (0, 1, 0)， α3 = (1, 1, 0)，其中 α1 和 α2 线性无关，但整个向量组线性相关，因为 α3 = α1 + α2。因此，选项 D 不正确。