题目
下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数指出其周期.(1)=cos (x-2)(2)=cos (x-2)(3)=cos (x-2)(4)=cos (x-2)(5)=cos (x-2)
下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数指出其周期.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定周期函数的定义
周期函数是指存在一个正数T，使得对于函数f(x)的定义域内的所有x，都有f(x+T) = f(x)。T称为函数的周期。
步骤 2：分析每个函数
(1) $y=\cos (x-2)$
根据周期函数的定义，$\cos (x-2)$的周期为$2\pi$，因为$\cos$函数的周期为$2\pi$，而$x-2$只是将$\cos$函数的图像向右平移了2个单位，不会改变周期。
(2) $y=\cos 4x$
根据周期函数的定义，$\cos 4x$的周期为$\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$，因为$\cos$函数的周期为$2\pi$，而$4x$将$\cos$函数的周期压缩了4倍。
(3) $y=1+\sin \pi x$
根据周期函数的定义，$\sin \pi x$的周期为$\frac{2\pi}{\pi} = 2$，因为$\sin$函数的周期为$2\pi$，而$\pi x$将$\sin$函数的周期压缩了$\pi$倍。因此，$1+\sin \pi x$的周期也是2。
(4) $y=x\cos x$
根据周期函数的定义，$x\cos x$不是周期函数，因为$x$的线性增长会破坏$\cos x$的周期性。
(5) $y=\sin^2x$
根据周期函数的定义，$\sin^2x$的周期为$\pi$，因为$\sin^2x$可以写成$\frac{1-\cos 2x}{2}$，而$\cos 2x$的周期为$\pi$。
周期函数是指存在一个正数T，使得对于函数f(x)的定义域内的所有x，都有f(x+T) = f(x)。T称为函数的周期。
步骤 2：分析每个函数
(1) $y=\cos (x-2)$
根据周期函数的定义，$\cos (x-2)$的周期为$2\pi$，因为$\cos$函数的周期为$2\pi$，而$x-2$只是将$\cos$函数的图像向右平移了2个单位，不会改变周期。
(2) $y=\cos 4x$
根据周期函数的定义，$\cos 4x$的周期为$\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$，因为$\cos$函数的周期为$2\pi$，而$4x$将$\cos$函数的周期压缩了4倍。
(3) $y=1+\sin \pi x$
根据周期函数的定义，$\sin \pi x$的周期为$\frac{2\pi}{\pi} = 2$，因为$\sin$函数的周期为$2\pi$，而$\pi x$将$\sin$函数的周期压缩了$\pi$倍。因此，$1+\sin \pi x$的周期也是2。
(4) $y=x\cos x$
根据周期函数的定义，$x\cos x$不是周期函数，因为$x$的线性增长会破坏$\cos x$的周期性。
(5) $y=\sin^2x$
根据周期函数的定义，$\sin^2x$的周期为$\pi$，因为$\sin^2x$可以写成$\frac{1-\cos 2x}{2}$，而$\cos 2x$的周期为$\pi$。