题目
13.设 (x)=lim _(tarrow +infty )dfrac (x+{e)^tx}(1+{e)^tx}, 则 x=0 是f(x)的 () .-|||-(A)连续点 (B)第一类间断点-|||-(C)第二类间断点 (D)不能判断连续性的点
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析函数在 $x > 0$ 时的极限
当 $x > 0$ 时，$e^{1/x}$ 趋向于无穷大，因此 $\lim _{t\rightarrow +\infty }\dfrac {x+{e}^{1x}}{1+{e}^{1x}} = \lim _{t\rightarrow +\infty }\dfrac {x+{e}^{1x}}{1+{e}^{1x}} = 1$。
步骤 2：分析函数在 $x = 0$ 时的值
当 $x = 0$ 时，$f(x) = \dfrac {1}{2}$。
步骤 3：分析函数在 $x < 0$ 时的极限
当 $x < 0$ 时，$e^{1/x}$ 趋向于0，因此 $\lim _{t\rightarrow +\infty }\dfrac {x+{e}^{1x}}{1+{e}^{1x}} = x$。
步骤 4：判断间断点类型
因为 $f(0+0) = 1$，$f(0) = \dfrac {1}{2}$，$f(0-0) = 0$，所以 $x = 0$ 为 $f(x)$ 的第一类间断点。
当 $x > 0$ 时，$e^{1/x}$ 趋向于无穷大，因此 $\lim _{t\rightarrow +\infty }\dfrac {x+{e}^{1x}}{1+{e}^{1x}} = \lim _{t\rightarrow +\infty }\dfrac {x+{e}^{1x}}{1+{e}^{1x}} = 1$。
步骤 2：分析函数在 $x = 0$ 时的值
当 $x = 0$ 时，$f(x) = \dfrac {1}{2}$。
步骤 3：分析函数在 $x < 0$ 时的极限
当 $x < 0$ 时，$e^{1/x}$ 趋向于0，因此 $\lim _{t\rightarrow +\infty }\dfrac {x+{e}^{1x}}{1+{e}^{1x}} = x$。
步骤 4：判断间断点类型
因为 $f(0+0) = 1$，$f(0) = \dfrac {1}{2}$，$f(0-0) = 0$，所以 $x = 0$ 为 $f(x)$ 的第一类间断点。