40) int dfrac (dx)(1+sqrt {2x)} ,

考查要点：本题主要考查不定积分的换元法（变量代换法）的应用，以及分式积分的处理技巧。

解题核心思路：通过代换简化被积函数。观察到分母中的$\sqrt{2x}$，令$t = \sqrt{2x}$，将原积分转化为关于$t$的简单分式积分，再通过分式分解或多项式除法进一步简化。

破题关键点：

1. 选择合适的代换：令$t = \sqrt{2x}$，使分母$1 + \sqrt{2x}$变为$1 + t$，简化积分形式。
2. 正确计算微分$dx$：通过$x = \dfrac{t^2}{2}$求导得到$dx = t \, dt$，代入积分式。
3. 分式分解：将$\dfrac{t}{1 + t}$拆分为$1 - \dfrac{1}{1 + t}$，便于积分。

步骤1：变量代换
令$t = \sqrt{2x}$，则：
$x = \dfrac{t^2}{2}, \quad dx = t \, dt$

步骤2：代入积分式
原积分变为：
$\int \dfrac{dx}{1 + \sqrt{2x}} = \int \dfrac{t \, dt}{1 + t}$

步骤3：分式分解
将$\dfrac{t}{1 + t}$拆分为：
$\dfrac{t}{1 + t} = 1 - \dfrac{1}{1 + t}$

步骤4：积分计算
分别积分：
$\int \left(1 - \dfrac{1}{1 + t}\right) dt = \int 1 \, dt - \int \dfrac{1}{1 + t} \, dt = t - \ln|t + 1| + C$

步骤5：回代变量
将$t = \sqrt{2x}$代回，得：
$\sqrt{2x} - \ln(\sqrt{2x} + 1) + C$