题目
已知极限 lim _(x arrow infty)((x^2)/(x+1)-x-a)=2，则常数 a 是（ ）。(A) 1(B) 2;(C) -2;(D) -3。
已知极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}}{x+1}-x-a\right)=2$，则常数 $a$ 是（ ）。 (A) 1 (B) 2; (C) -2; (D) -3。
题目解答
答案
我们来解决这个极限问题：
---
### 题目：
已知极限
$$
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}}{x+1}-x-a\right)=2
$$
求常数 $ a $ 的值。
---
### 第一步：分析表达式
我们考虑极限：
$$
\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2}{x+1} - x - a \right)
$$
我们希望这个极限等于 2，因此我们可以设：
$$
\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2}{x+1} - x - a \right) = 2
$$
---
### 第二步：先计算 $\frac{x^2}{x+1} - x$
我们先计算这个表达式的极限行为：
$$
\frac{x^2}{x+1} - x = \frac{x^2 - x(x+1)}{x+1} = \frac{x^2 - x^2 - x}{x+1} = \frac{-x}{x+1}
$$
所以原式可以写为：
$$
\lim_{x \to \infty} \left( \frac{-x}{x+1} - a \right) = 2
$$
---
### 第三步：化简 $\frac{-x}{x+1}$
我们来化简这个分式：
$$
\frac{-x}{x+1} = \frac{-x}{x(1 + \frac{1}{x})} = \frac{-1}{1 + \frac{1}{x}} \to -1 \quad \text{当 } x \to \infty
$$
所以：
$$
\lim_{x \to \infty} \left( \frac{-x}{x+1} - a \right) = -1 - a
$$
根据题意，这个极限等于 2：
$$
-1 - a = 2
$$
解这个方程：
$$
a = -3
$$
---
### 最终答案：
$$
\boxed{D}
$$
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是处理分式与多项式相减时的化简技巧，以及利用极限的性质求解参数。
解题核心思路：
- 化简表达式：将分式 $\frac{x^2}{x+1}$ 与 $-x$ 合并，转化为更简单的分式形式。
- 求极限：分析化简后的分式在 $x \to \infty$ 时的极限值。
- 建立方程：根据题目给出的极限结果，建立关于 $a$ 的方程并求解。
破题关键点：
- 合并分式：通过通分将 $\frac{x^2}{x+1} - x$ 转化为 $\frac{-x}{x+1}$，简化后续计算。
- 极限化简：利用无穷大时的近似 $\frac{-x}{x+1} \approx -1$，快速确定极限值。
步骤 1：合并分式
将 $\frac{x^2}{x+1} - x$ 通分：
$\frac{x^2}{x+1} - x = \frac{x^2 - x(x+1)}{x+1} = \frac{x^2 - x^2 - x}{x+1} = \frac{-x}{x+1}.$
步骤 2：化简分式
将 $\frac{-x}{x+1}$ 分解为：
$\frac{-x}{x+1} = \frac{-x}{x\left(1 + \frac{1}{x}\right)} = \frac{-1}{1 + \frac{1}{x}}.$
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，因此：
$\frac{-1}{1 + \frac{1}{x}} \to -1.$
步骤 3：建立方程
原极限表达式为：
$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{-x}{x+1} - a \right) = -1 - a.$
根据题意，该极限等于 $2$，故有：
$-1 - a = 2 \quad \Rightarrow \quad a = -3.$