题目
7.曲线 ^2+xy+(y)^2=3 在点(1,1)处的曲率 = __ .
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导
首先，对给定的曲线方程 ${x}^{2}+xy+{y}^{2}=3$ 进行隐函数求导，得到 $y$ 关于 $x$ 的导数 $y'$。
$$
2x + y + xy' + 2yy' = 0
$$
步骤 2：求二阶导数
对上式再次求导，得到 $y$ 关于 $x$ 的二阶导数 $y''$。
$$
2 + y' + xy'' + y' + 2yy'' = 0
$$
步骤 3：代入点(1,1)
将点(1,1)代入一阶导数和二阶导数的表达式中，求出 $y'$ 和 $y''$ 的值。
步骤 4：计算曲率
利用曲率公式 $k = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}}$，代入 $y'$ 和 $y''$ 的值，计算出曲率 $k$。
首先，对给定的曲线方程 ${x}^{2}+xy+{y}^{2}=3$ 进行隐函数求导，得到 $y$ 关于 $x$ 的导数 $y'$。
$$
2x + y + xy' + 2yy' = 0
$$
步骤 2：求二阶导数
对上式再次求导，得到 $y$ 关于 $x$ 的二阶导数 $y''$。
$$
2 + y' + xy'' + y' + 2yy'' = 0
$$
步骤 3：代入点(1,1)
将点(1,1)代入一阶导数和二阶导数的表达式中，求出 $y'$ 和 $y''$ 的值。
步骤 4：计算曲率
利用曲率公式 $k = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}}$，代入 $y'$ 和 $y''$ 的值，计算出曲率 $k$。