题目

3.写出四阶行列式中含有因子a11a 23的项.

题目解答

答案

[思路探索]先写出含有因子 an a_{11}a_{23} 的项的一般形式,再确定该项的符号.解:含因子 a_{11}a_{23} 的项的一般形式为 (-1)^{t}a_{11}a_{23}a_{3},a_{4} ,其中 r,s 是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以,含因子 a 11 a 23 的项分别是 a_{11}a_{23}(-1)^{t}a_{11}a_{23}a_{32}a_{41}=(-1)^{t}a_{11}a_{23}a_{32}a_{44 -1)^{i}a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}=(-1)^{2}a_{11}a_{23}a_{34}a_{12}[ 方法点击]n阶行列式的一般项都是位于不同行.不同列的几个元素的乘积,在n个元素的行标自然顺序排列时,若列标排列的逆序数为偶数,该项符号为正;若列标排列的逆序数为奇数,该项符号为负.

解析

考查要点：本题主要考查四阶行列式展开项的构成规律，特别是含有特定因子的项的确定方法。

解题核心思路：

  1. 行列式展开项的结构：四阶行列式的每一项都是四个元素的乘积，且这四个元素分别位于不同的行和不同的列。
  2. 因子的确定：题目要求含有因子$a_{11}$和$a_{23}$，因此剩余两个元素需从第三行和第四行中选取，且列标不能为1或3（避免重复）。
  3. 符号的确定：根据排列的逆序数确定符号，逆序数为偶数时符号为正，奇数时为负。

破题关键点：

  • 列标排列的唯一性：剩余列标只能是2和4的排列。
  • 逆序数的计算：通过排列顺序确定符号。

四阶行列式的一般项为$a_{1\sigma_1}a_{2\sigma_2}a_{3\sigma_3}a_{4\sigma_4}$，其中$\sigma=(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4)$是列标排列。题目要求含有$a_{11}$和$a_{23}$，即$\sigma_1=1$，$\sigma_2=3$，剩余列标$\sigma_3$和$\sigma_4$只能是2和4的排列。

情况1：$\sigma_3=2$，$\sigma_4=4$

  • 列标排列：$(1,3,2,4)$
  • 逆序数计算：排列中存在1个逆序（3和2），故符号为$(-1)^1=-1$。
  • 对应项：$-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}$。

情况2：$\sigma_3=4$，$\sigma_4=2$

  • 列标排列：$(1,3,4,2)$
  • 逆序数计算：排列中存在2个逆序（3和2，4和2），故符号为$(-1)^2=+1$。
  • 对应项：$+a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$。