题目
3.计算第一类曲面积分 iint dfrac (1)({x)^2+(y)^2+(z)^2}ds, 其中Z为圆柱面 ^2+(y)^2=1 介于平面 z=0 与 z=1-|||-之间的部分.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲面的参数化
圆柱面 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$ 可以用参数方程表示为 $x=\cos\theta$，$y=\sin\theta$，$z=z$，其中 $0\leq\theta\leq2\pi$，$0\leq z\leq1$。
步骤 2：计算曲面的微分面积元素
曲面的微分面积元素 $dS$ 可以通过计算曲面的法向量的模长来得到。曲面的参数方程为 $\vec{r}(\theta,z) = (\cos\theta, \sin\theta, z)$，其关于 $\theta$ 和 $z$ 的偏导数分别为 $\vec{r}_\theta = (-\sin\theta, \cos\theta, 0)$ 和 $\vec{r}_z = (0, 0, 1)$。因此，曲面的微分面积元素为 $dS = |\vec{r}_\theta \times \vec{r}_z| d\theta dz = \sqrt{1} d\theta dz = d\theta dz$。
步骤 3：计算第一类曲面积分
将曲面的参数方程代入被积函数，得到 $\dfrac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}} = \dfrac{1}{1+z^2}$。因此，第一类曲面积分为 $\iint \dfrac{1}{1+z^2} dS = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \dfrac{1}{1+z^2} dz d\theta$。
步骤 4：计算积分
首先计算内层积分 $\int_0^1 \dfrac{1}{1+z^2} dz = \arctan z \big|_0^1 = \arctan 1 - \arctan 0 = \dfrac{\pi}{4}$。然后计算外层积分 $\int_0^{2\pi} \dfrac{\pi}{4} d\theta = \dfrac{\pi}{4} \theta \big|_0^{2\pi} = \dfrac{\pi}{4} \cdot 2\pi = \dfrac{\pi^2}{2}$。
圆柱面 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$ 可以用参数方程表示为 $x=\cos\theta$，$y=\sin\theta$，$z=z$，其中 $0\leq\theta\leq2\pi$，$0\leq z\leq1$。
步骤 2：计算曲面的微分面积元素
曲面的微分面积元素 $dS$ 可以通过计算曲面的法向量的模长来得到。曲面的参数方程为 $\vec{r}(\theta,z) = (\cos\theta, \sin\theta, z)$，其关于 $\theta$ 和 $z$ 的偏导数分别为 $\vec{r}_\theta = (-\sin\theta, \cos\theta, 0)$ 和 $\vec{r}_z = (0, 0, 1)$。因此，曲面的微分面积元素为 $dS = |\vec{r}_\theta \times \vec{r}_z| d\theta dz = \sqrt{1} d\theta dz = d\theta dz$。
步骤 3：计算第一类曲面积分
将曲面的参数方程代入被积函数，得到 $\dfrac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}} = \dfrac{1}{1+z^2}$。因此，第一类曲面积分为 $\iint \dfrac{1}{1+z^2} dS = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \dfrac{1}{1+z^2} dz d\theta$。
步骤 4：计算积分
首先计算内层积分 $\int_0^1 \dfrac{1}{1+z^2} dz = \arctan z \big|_0^1 = \arctan 1 - \arctan 0 = \dfrac{\pi}{4}$。然后计算外层积分 $\int_0^{2\pi} \dfrac{\pi}{4} d\theta = \dfrac{\pi}{4} \theta \big|_0^{2\pi} = \dfrac{\pi}{4} \cdot 2\pi = \dfrac{\pi^2}{2}$。