题目
6.求由曲面 z=sqrt(2-x^2)-y^(2) 和 z=sqrt(x^2)+y^(2) 所围成的立体的体积.
6.求由曲面 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 和 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的立体的体积.
题目解答
答案
将两曲面方程设置为相等，解得交线为 $x^2 + y^2 = 1$。在极坐标系中，体积积分变为：
\[
V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \left( \sqrt{2 - r^2} - r \right) r \, dr \, d\theta
\]
计算内积分为：
\[
\int_0^1 \left( r\sqrt{2 - r^2} - r^2 \right) \, dr = \frac{2\sqrt{2}}{3} - \frac{2}{3}
\]
外积分得：
\[
V = \int_0^{2\pi} \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{3} \, d\theta = \frac{4\pi(\sqrt{2} - 1)}{3}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{4\pi}{3}(\sqrt{2} - 1)}$
解析
步骤 1：确定交线
将两曲面方程设置为相等，解得交线为 $x^2 + y^2 = 1$。这意味着交线是一个半径为1的圆，位于 $z = \sqrt{2 - 1} = 1$ 的平面上。
步骤 2：转换到极坐标系
在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，$dA = r \, dr \, d\theta$。因此，体积积分变为：
\[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \left( \sqrt{2 - r^2} - r \right) r \, dr \, d\theta \]
步骤 3：计算内积分
计算内积分为：
\[ \int_0^1 \left( r\sqrt{2 - r^2} - r^2 \right) \, dr \]
首先计算 $\int_0^1 r\sqrt{2 - r^2} \, dr$，令 $u = 2 - r^2$，则 $du = -2r \, dr$，$r \, dr = -\frac{1}{2} du$，积分变为：
\[ \int_2^1 -\frac{1}{2} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \int_1^2 \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} \Big|_1^2 = \frac{1}{3} (2\sqrt{2} - 1) = \frac{2\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{3} \]
然后计算 $\int_0^1 r^2 \, dr = \frac{1}{3} r^3 \Big|_0^1 = \frac{1}{3}$，因此：
\[ \int_0^1 \left( r\sqrt{2 - r^2} - r^2 \right) \, dr = \frac{2\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} - \frac{2}{3} \]
步骤 4：计算外积分
外积分得：
\[ V = \int_0^{2\pi} \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{3} \, d\theta = \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{3} \cdot 2\pi = \frac{4\pi(\sqrt{2} - 1)}{3} \]
将两曲面方程设置为相等，解得交线为 $x^2 + y^2 = 1$。这意味着交线是一个半径为1的圆，位于 $z = \sqrt{2 - 1} = 1$ 的平面上。
步骤 2：转换到极坐标系
在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，$dA = r \, dr \, d\theta$。因此，体积积分变为：
\[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \left( \sqrt{2 - r^2} - r \right) r \, dr \, d\theta \]
步骤 3：计算内积分
计算内积分为：
\[ \int_0^1 \left( r\sqrt{2 - r^2} - r^2 \right) \, dr \]
首先计算 $\int_0^1 r\sqrt{2 - r^2} \, dr$，令 $u = 2 - r^2$，则 $du = -2r \, dr$，$r \, dr = -\frac{1}{2} du$，积分变为：
\[ \int_2^1 -\frac{1}{2} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \int_1^2 \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} \Big|_1^2 = \frac{1}{3} (2\sqrt{2} - 1) = \frac{2\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{3} \]
然后计算 $\int_0^1 r^2 \, dr = \frac{1}{3} r^3 \Big|_0^1 = \frac{1}{3}$，因此：
\[ \int_0^1 \left( r\sqrt{2 - r^2} - r^2 \right) \, dr = \frac{2\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} - \frac{2}{3} \]
步骤 4：计算外积分
外积分得：
\[ V = \int_0^{2\pi} \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{3} \, d\theta = \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{3} \cdot 2\pi = \frac{4\pi(\sqrt{2} - 1)}{3} \]