题目
例2 设随机变量X和Y相互独立，并且X服从N(a,sigma^2),Y在[-b,b]上服从均匀分布，求(X,Y)的联合概率密度.
例2 设随机变量X和Y相互独立，并且X服从N(a,$\sigma^{2}$),Y在[-b,b]上服从均匀分布，求(X,Y)的联合概率密度.
题目解答
答案
随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(a, \sigma^2)$，其概率密度函数为：
\[ f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < x < \infty. \]
随机变量 $Y$ 在区间 $[-b, b]$ 上服从均匀分布，其概率密度函数为：
\[ f_Y(y) = \begin{cases}
\frac{1}{2b} & -b \le y \le b \\
0 & \text{其他情况}
\end{cases}. \]
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，联合概率密度函数为：
\[ f(x, y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) = \begin{cases}
\frac{1}{2b} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}} & -b \le y \le b \\
0 & \text{其他情况}
\end{cases}. \]
或者表示为：
\[ f(x, y) = \frac{1}{2b} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < x < \infty, -b \le y \le b; \]
当 $|y| > b$ 时，$f(x, y) = 0$。
**答案：**
\[
\boxed{
f(x, y) = \begin{cases}
\frac{1}{2b} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}} & -b \le y \le b \\
0 & \text{其他情况}
\end{cases}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查独立随机变量的联合概率密度的求解方法，需要结合正态分布和均匀分布的边缘密度函数进行推导。
解题核心思路：
- 独立性：若随机变量$X$和$Y$相互独立，则联合概率密度为各自边缘概率密度的乘积，即$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$。
- 边缘密度形式：明确正态分布和均匀分布的概率密度函数形式，注意定义域的限制条件。
- 分段表达：根据$Y$的定义域$[-b, b]$，分情况讨论联合密度的非零区域。
破题关键点：
- 正态分布密度：$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}$，定义域为全体实数。
- 均匀分布密度：$f_Y(y) = \frac{1}{2b}$当$-b \le y \le b$，否则为0。
- 联合密度：将两者的密度相乘，并结合$Y$的定义域限制。
-
求$X$的边缘密度
$X \sim N(a, \sigma^2)$，其概率密度函数为：
$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < x < \infty.$ -
求$Y$的边缘密度
$Y$在$[-b, b]$上服从均匀分布，其概率密度函数为：
$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2b} & -b \le y \le b, \\ 0 & \text{其他情况}. \end{cases}$ -
求联合密度
由于$X$和$Y$独立，联合概率密度为：
$f(x, y) = f_X(x) \cdot f_Y(y).$- 当$-b \le y \le b$时，$f_Y(y) = \frac{1}{2b}$，因此：
$f(x, y) = \frac{1}{2b} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}.$ - 当$y < -b$或$y > b$时，$f_Y(y) = 0$，因此$f(x, y) = 0$。
- 当$-b \le y \le b$时，$f_Y(y) = \frac{1}{2b}$，因此：