函数 ln(1+x) 的展开式 ln(1+x)= sum_(n=1)^infty (-1)^n-1 (x^n)/(n) 的收敛区间是(）A. (-1,1)B. [-1,1)C. [-1,1]D. (-1,1]

步骤 1：确定收敛半径
利用比值检验确定收敛半径： \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}}{(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{-x}{\frac{n+1}{n}} \right| = |x| < 1 \] 因此，收敛半径为 $1$，收敛区间为 $(-1, 1)$。
步骤 2：分析端点
- 当 $x = 1$ 时，级数为交错调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}$，根据莱布尼茨判别法，该级数收敛。
- 当 $x = -1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{(-1)^n}{n} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，即调和级数的负数，发散。
步骤 3：确定收敛区间
根据上述分析，收敛区间为 $(-1, 1]$。