已知某三阶行列式第一行（自左至右）三个元素分别为3,-2,1，第三行（自左至右）三个元素的余子式分别为3,x,3，则x=______。

我们已知一个三阶行列式，题目给出了以下信息：

• 第一行的三个元素为：$ 3, -2, 1 $
• 第三行三个元素的余子式分别为：$ 3, x, 3 $

要求：求 $ x = ? $

第一步：理解概念

在行列式中，余子式（Minor）指的是：去掉某元素所在的行和列后，剩下的元素组成的行列式。

而代数余子式（Cofactor）是余子式加上符号 $ (-1)^{i+j} $，即：
$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$
其中 $ M_{ij} $ 是余子式。

但题目中明确说是“余子式”，不是代数余子式，所以我们要特别注意这一点。

第二步：利用行列式的展开性质

我们知道，行列式可以按某一行展开，即：
$\det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3}$
其中 $ C_{ij} $ 是代数余子式。

但这里题目给出的是余子式，不是代数余子式。

设第三行的元素为 $ a_{31}, a_{32}, a_{33} $，它们的余子式分别是 $ M_{31} = 3, M_{32} = x, M_{33} = 3 $

那么对应的代数余子式为：
$C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31} = (+1) \cdot 3 = 3 \\ C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} = (-1) \cdot x = -x \\ C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33} = (+1) \cdot 3 = 3$

如果我们知道第三行的元素，就可以按第三行展开行列式。但我们不知道第三行的元素。

然而，还有一个重要性质：某一行的元素与另一行对应代数余子式的乘积之和为 0。

即：不同行之间，元素与代数余子式的乘积之和为 0。

具体地：
> 对于行列式，若用第 $ i $ 行的元素去乘第 $ j $ 行的代数余子式（$ i \ne j $），则和为 0。

这是一个关键性质！

第三步：使用“异行展开为0”的性质

我们用第一行的元素，去乘第三行对应列的代数余子式，由于是不同行，其乘积之和应为 0。

即：
$a_{11} C_{31} + a_{12} C_{32} + a_{13} C_{33} = 0$

其中：

• $ a_{11} = 3, a_{12} = -2, a_{13} = 1 $
• $ C_{31} = 3, C_{32} = -x, C_{33} = 3 $

代入：
$3 \cdot 3 + (-2) \cdot (-x) + 1 \cdot 3 = 0$
$9 + 2x + 3 = 0$
$12 + 2x = 0$
$2x = -12 \Rightarrow x = -6$

第四步：验证思路是否正确

我们使用了“某一行的元素与另一行的代数余子式相乘，和为0”的性质，这是行列式的基本性质之一，正确。

注意题目给的是余子式，所以我们必须先根据位置符号转化为代数余子式，尤其是 $ C_{32} = -x $，这一点很关键。

计算过程无误。

最终答案：

$\boxed{-6}$